1.2.1 函数的概念

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**_*学

王某某

1.2 函数的概念

第一课时 函数的概念

问题提出

1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？

2.初中对函数概念是怎样理解的？

用函数可以描述变量之间的依赖关系，在高中我们将进一步研究函数及其构成要素

3.我们如何从集合的观点认识函数？

函数的概念

知识探究（一）

一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是： h＝130t-5t2.

思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？试用集合表示？

A＝{t|0≤t≤26}，B＝{h|0≤h≤845}

思考2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系

是否为函数？若是，其自变量是什么？

思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m是怎样得到的？

知识探究（二）

近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.

思考1：根据曲线分析，时间t的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S的变化范围是什么？试用集合表示？

A＝{t|1979≤t≤2001}；B＝{s|0≤s≤26}

思考2：时间变量t与臭氧层空洞面积S之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？

思考3：这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？

知识探究（三）

思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和r的变化范围分别是什么？

A={1991，1992，XXXXX，2001}，B={53.8，52.9，50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}

思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系是否为函数？ 　

国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况.

知识探究（四）

思考1:从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？

　对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 f：A→B.

思考2:上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，

那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A.

其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.

思考3:在一个函数中，自变量x和函数值y的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？

自变量的取值范围A叫做函数的定义域；　　　函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

思考4:在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A是函数的定义域，集合B是函数的值域吗？怎样理解f(x)=1，x∈R？

值域是集合B的子集.

思考5:一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？

定义域、对应关系、值域；　　　

定义域相同，对应关系完全一致.

函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；

理论迁移

作业：

P24习题1.2A组： 1，2，3，4.

1.2.1 函数的概念

第二课时 区间的概念

问题提出

1.什么叫函数？用什么符号表示函数？

2.什么是函数的定义域？值域？

4. 上述集合还有更简单的表示方法吗？

区间的概念

知识探究（一）

思考1：设a，b是两个实数，且a<b，介于这两个数之间的实数x用不等式表示有哪几种可能情况？

思考2：满足上述每个不等式的实数x的集合可看成一个区间，为了区分，它们分别叫什么名称？

思考3：如果把满足不等式a≤x<b的实数x的集合用符号 [a，b）表示，那么满足其它三个不等式的实数x的集合可分别用什么符号表示？

上述知识内容总结成下表：

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.

知识探究（二）

思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用不等式怎样表示？

[a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).

思考3：将实数集R看成一个大区间，怎样用区间表示实数集R？

（-∞，+∞）

理论迁移

作业：

P25习题1.2A组：5，6，7，8.

1.2.2 函数的表示法

第一课时 函数的表示法

问题提出

1.从集合与对应的观点分析，函数的定义是什么？

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集A中的任意一个数x，在集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.

2.函数有哪几种常用的表示法？

3.在日常生活中，我们会遇到许多函数问题，如何选择适当的方式来表示问题中的函数关系呢？

函数的表示法

（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；

（3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系.

知识探究（一）

某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用适当

的方式表示函数y=f(x)．

思考1:该函数用解析法怎样表示？

思考2:该函数用列表法怎样表示？

思考3:该函数用图象法怎样表示？

思考4:上述三种表示法各有什么特点？

知识探究（二）

下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：

思考1:上表反映了几个函数关系？这些函数的自变量是什么？定义域是什么？

4个；测试序号；{1，2，3，4，5，6}.

思考2:上述4个函数能用解析法表示吗？能用图象法表示吗？

思考3:若分析、比较每位同学的成绩变化情况，用哪种表示法为宜？

思考4:试根据图象对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提升.

知识探究（三）

某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线路上公交车“招手即停”，其票价如下：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）.

思考1:里程与票价之间的对应关系是否为函数？若是，函数的自变量是什么？定义域是什么？

思考2:该函数用解析法怎样表示？

设里程为x公里，票价为y元，则

思考3:该函数用列表法怎样表示？

思考4:该函数用图象法怎样表示？

思考5:上面的函数称为分段函数,一般地，分段函数的解析式有什么特点？试举例说明.

理论迁移

例1 设周长为20cm的矩形的一边长为xcm，面积为Scm2,那么x与S的对应关系是否为函数？若是,试用适当的方法表示出来.

例2 画出函数y=|x|的图象.

练习作业：

P23练习：1，2，3；

P24习题1.2A组：9.

1.2.2 函数的表示法

第二课时 映射

问题提出

1.设集合A={x|x是正方形}，B={y|y>0},对应关系f：正方形→面积，那么从集合A到集合B的对应是否是函数？为什么？

2.函数是“两个数集A、B间的一种确定的对应关系”，如果集合A、B不都是数集，这种对应关系又怎样解释呢？

映射

知识探究（一）

思考1:上述两个对应有何共同特点？

集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应.

思考2:我们把具有上述特点的对应叫做映射，那么如何定义映射？

设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.

其中集合A中的元素x称为原某某，在集合B中与x对应的元素y称为象.

思考4:在我们的生活中处处有映射，你能举一个实例吗？

知识探究（二）

思考1:函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？

思考2:映射有哪几种对应形式？

一对一，多对一

思考3:设集合A=N，B={x|x是非负偶数}，你能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的对应是一个映射吗？并指出其对应形式.

思考5:有人说映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？

③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.

①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；

理论迁移

例1 试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合B的映射？

（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x∈R,y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）集合A={x|x是师大附中的班级}，集合B={x|x是师大附中的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生;

（5）集合A={1,2,3,4}, B={3，4，5，6，7，8，9}，对应关系f：x→2x+1

例2 已知集合A={a,b}，集合B={c,d,e}.

（1）试建立一个从集合A到集合B的映射？

（2）一共可建立多少个从集合A到集合B的映射？

例3 下列对应关系f是否为从集合A到集合B的函数？

作业:

P23练习： 4.

P24习题1.2 A组：10.

P25习题1.2 B组：1.

1.2.2 函数的表示法

第三课时 习题课

知识回顾

函数的概念

函数

区间

定义：

三要素

定义域

对应关系

值域

闭区间

开区间

半开半闭区间

函数的表示法

三种表示法

解析法

列表法

图像法

分段函数

映射

f：A→B

范例分析

例1 已知函数

(1)求 的值;

(2)若f(a)=3,求a的值.

例2 求下列函数的定义域:

例3 求下列函数的值域：

例4 某民营企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，生产甲产品的利润与投资额成正比，其关系如图一；生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图二.

现在该企业已筹集到10万元资金，并全部投入甲、乙两种产品的生产.

（1）若投资甲产品1万元，乙产品9万元，求企业所获得的利润为多少万元？

（2）怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？

作业:

P25习题1.2 B组：2,3,4.[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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