函数及其表示

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XXXXX2.1　函数及其表示

1.函数与映射

知识梳理

1

答案

答案

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的 ；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的 .

(2)函数的三要素： 、 和 .

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有 、 和 .

答案

3.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

答案

4.常见函数定义域的求法

答案

1.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的

A.f(x)＝|x| B.f(x)＝x－|x| C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝－x

考点自测

2

4.(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

.

题型一　

函数的概念

函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).

(2)下列所给图象是函数图象的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

命题点1　求给定函数解析式的定义域

　函数的定义域

题型二

命题点2　求抽象函数的定义域

(2)若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为(　　)

A.[－1,1] B.[1,2] C.[10,100] D.[0，lg 2]

简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)抽象函数：

①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；

②对应f下的范围一致.

(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围.

题型三　求函数解析式

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝_______.

函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；

(4)消去法：已知f(x)与f 或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝____________.

(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝____________________________.

(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解.

(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.

(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.

1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.

2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.

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