2.2.2对数函数

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第一课时 对数函数的概念与图象

2.2.2 对数函数及其性质

一、复习：

1.对数的概念：

2.指数函数的定义:

如果ax=N,那么数x叫做以a为底N的对数,记作logaN＝x（a>0,a≠1）.

函数 y=ax (a＞0,且a≠1) 叫做指数函数,其中

x是自变量,函数的定义域是 R.

t 能不能看成是 P 的函数？

根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系 ，都有唯一确定的年代

t 与它对应，所以，t 是P的函数。

一般地，函数y = loga x (a＞0,且a≠ 1)叫做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义域是（ 0 , +∞）

判断下列函数是否是对数函数？

结论：看对数符号前面系数是否是1，看底数是否是符合条件的常数，看真数的位置上是否只有一项.

小练习求下列函数的定义域：

（1）{x|x≠0} （2）{x|x<4}

(3){x|x>1} (4){x|x>0且x≠1}

题型一 对数函数定义相关问题

例1

跟踪

训练

（3）.函数f(x)＝lg(2x－3x)的定义域为

（3）.(－∞，0)

作图步骤: ①列表,

②描点,

③连线。

对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1)

图象与性质

列表

描点

作y=log2x图象

连线

定义域 :

( 0,+∞)

值 域 :

R

增函数

在(0,+∞)上是：

探索发现:认真观察函数y=log2x

的图象填写下表

图象位于y轴右方

图象向上、向下无限延伸

自左向右看图象逐渐上升

探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质

2

1

-1

-2

1

2

4

0

y

x

3

列表

描点

作y=log0.5x图像

连线

2 1 0 -1 -2

-2 -1 0 1 2

思考

这两个函数的图象有什么关系呢？

关于x轴对称

定义域 :

( 0,+∞)

值 域 :

R

减函数

在(0,+∞)上是：

图象位于y轴右方

图象向上、向下无限延伸

自左向右看图象逐渐下降

探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质

探索发现:认真观察函数

的图象填写下表

思考

(4)当 0<a<1时与a>1时的图象又怎么画呢?

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

(4) 0<x<1时, y<0;

x>1时, y>0

(4) 0<x<1时, y>0;

x>1时, y<0

(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0

(1) 定义域： (0,+∞)

(2) 值域：R

x

y

o

(1, 0)

x

y

o

（1, 0)

(5)在(0,+∞)上是减函数

(5) 在(0,+∞)上是增函数

对数函数的图象和性质

下列是6个对数函数的图象，比较它们底数的大小

规律：在 x=1的右边看图象,图象越高底数越小.即图高某某

底数a>1时,底数越大,其图象越接近x轴。

补充性质二

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。

补充性质一

图

形

1

　　底数0<a<1时,底数越小,其图象越接近x轴。

题型二 对数函数图象相关问题

例1 作出下列函数的图象：

例2 当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象可能是(　　)

分析：利用0＜a＜1时，y＝logax是减函数，y＝a－x是增函数进行判断．

解析：当0＜a＜1时，a－1＞1，因此y＝a－x＝(a－1)x为增函数且图象过(0,1)，y＝logax为减函数且图象过(1,0)，显然只有C符合．

答案：C

点评：解决这类题型的办法有直接法与排除法．

直接法一般是借助函数的定义域、奇偶性、单调性、过定点等特征对函数的图象进行分析进而得解的方法．排除法通常是利用函数的定义域以及图象经过的一些特殊点进行验证的方法．

跟踪

训练

例 3．已知a＞0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)

答案：B

例4. 函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的

图象如图 2-2-2 所示，则 a，b，c，d 的大小顺序是( )

A.1＜d＜c＜a＜b

B.c＜d＜1＜a＜b

C.c＜d＜1＜b＜a

D.d＜c＜1＜a＜b

图 2-2-2

解析：由图象可知：当x＝2时，loga2＞logb2＞0＞logc2＞

∴lgb＞lga＞0＞lgd＞lgc，解得 b＞a＞1＞d＞c.

答案：B

练习

1.已知 a＞0，b＞0，且 ab＝1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　 　)

B

A

B

C

D

解析：依题意，得 f(x)＝log2x(x>0)因函数的图象关于 y 轴

对称，可得 g(x)＝log2(－x)(x<0)．故选 B.

答案：B

3. 函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是（ ）

①

②

③

1

1

O

x

y

1

1

O

x

y

1

1

O

x

y

④

1

1

O

x

y

③

练习：若a>0且a≠1,则函数

过哪个定点？

（2,0）

（-2,0）

图像过定点问题

不等式恒成立问题

（图像法）

练习：

题型三 比较大小 比较下列各组中，两个值的大小：

（1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

log23.4

log28.5

∴ log23.4< log28.5

解法1：画图找点比高低

解法2：利用对数函数的单调性

考察函数y=log 2 x ,

∵a=2 > 1,

∴函数在区间（0，+∞）

上是增函数；

∵3.4<8.5

∴ log23.4< log28.5

比较下列各组中，两个值的大小：

（1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

解法2：考察函数y=log 0.3 x ,

∵a=0.3< 1,

∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；

∵1.8<2.7

∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7

解法1：画图找点比高低

比较下列各组中，两个值的大小：

（1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

小

结

比较两个同底对数值的大小时:

１.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数

　　　　　　　　　　　　0<a<1时为减函数）

２.比较真数值的大小；

３.根据单调性得出结果。

注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论，即0<a<1 和 a > 1

（3） loga5.1与 loga5.9

解: ①若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；

∵5.1<5.9

∴ loga5.1 < loga5.9

②若0<a<1则函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵5.1<5.9

∴ loga5.1 > loga5.9

口答1：

口答2：

＜

＞

＞

＜

＜

＜

＜

＜

(4) log0.37，log97.

log0.37＜log0.31＝0，

log97＞log91＝0，

∴log0.37＜log97.

5.　log 67 , log 7 6 ; 6.　log 3XXXXX , log 2 0.8 .

解: ⑴∵log67＞log66＝1

　　　log76＜log77＝1

　　∴ log67＞log76

⑵ ∵log3XXXXX＞log31＝0

log20.8＜log21＝0

∴ log3XXXXX＞log20.8

注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大小

提示 : log aa=1

提示: log a1=0

练习 比较大小

练习 比较大小

练习 比较大小

练习 比较大小

练习 比较下列三组数的大小：

作y＝log7x与y＝log6x图象，如图2-2-1.

图 2-2-1

利用对数函数的单调性比较两个对数的大

小，常用的方法有：①若底数为同一常数，则可由对数函数的

单调性直接判断；②若底数为同一字母，则按对数函数的单调

性对底数进行分类讨论；③若底数不同，真数相同，则可用换

底公式化为同底，再进行比较；④若底数、真数都不相同，则

常某某 1,0 等中间量进行比较，或利用对数函数图象的性质进

行判断.[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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