教学设计和反思

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课题

椭圆的参数方程

设计者

李某某Z。xx。k.Com]



教材

分析

相对于曲线的一般方程，参数方程是曲线的另一种代数表现形式，在某些
方面具有一定的优越性，而椭圆的参数方程是其中一个重要的内容。从教
材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程的中间，它起着衔接、过渡、承上启下的作用。



学情

分析

对于高二年的学生来说，在学习椭圆的参数方程以前，就已经掌握了椭圆的标准方程、图像和
性质，能够解决一些相关问题，但是对于一些求最值的问题，还是会感受到计算的困难和繁杂。因此，本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好：1、能
从类比圆的参数方程得出椭圆的参数方程中参数的几何意义；2、引导学生通过圆与椭圆的的比较，体会椭圆参数的几何意义；3、能利用参数方程解决有关的问题。其中椭圆参数的几何意义是这节课的难点。



教学

目标

1、知识与技能：了解并掌握椭圆的参数方程及其参数的几何意义，有利于更好地运用公式解决问题；

2、过程与方法：通过探究了解椭圆的参数方程的参数的几何意义，区分与圆的参数方程中参数的几何意义，加深对椭圆的参数方程的理解，能用椭圆的参数方程解决一些问题；

3、情感态度价值观：通过观察、探索、发现的过程，培养数形结合思想，探究能力，发散思维和创新意识。



教学重点和难点

1、重点：掌握椭圆的参数方程，理解参数的几何意义，应用椭圆的参数方程解决问题，

2、难点：探究椭圆的参数方程中的参数的几何意义。



教学工具

三角板，圆规，几何画板



教学方法

自主探究法，设问法



教学过程



教
学环节与时间安排

教师活动

学生行为

设计意图



一、知识回顾（4’）

以设问的方式进行复习回顾：1、当焦点在x轴上时椭圆的普通方程:

相关知识点：

焦点
，

顶点(
), (
)；

（2）

（3）
；

（4）
；

3、辅助角公式：

学
生跟着老师的思路进行复习回顾，并能较为准确回答出老师所问问题。

为接下来的新知识做铺垫。明确相关知识便于学生理解下面的新知识，加深了学生对单一函数的认识及应用。

[来源:***]



二、新课引入（3’）

对椭圆的普通方程
进行换元可得到椭圆的参数方程
。

对学生提出思考：

上节课圆的参数方程中，

参数的几何意义是圆的旋转角，那么椭圆的参数方程中参数
的几何意义是什么？

学生认真记录笔记，并根据老师所提出的思考题进行思考，并忆起圆的参数方程中参数的几何意义。

利用学生熟悉的三角函数公式进行换元，通过换元法进行引入。然后对参数进行设问，引导学生合作探究。



三、探究参数（14’）

设椭圆上任一动点M 坐标为
(
)，则：

探究1：参数
是椭圆的旋转角吗？

不是，因为x=
，
不是定值。

探究2：从参数方程出发（即M的坐标点）根据圆的参数方程寻找
的意义：

建立以a为半径的圆
，过M作垂线交圆
于A，点A的横坐标与M的横坐标一样为
(
为∠AOx)；再建立以b为半径的圆
交线段OA于B，
而B点纵坐标为
，恰与M的纵坐标一样，即BM∥x轴。因此，椭圆的参数方程中参数的几何意义并非旋转角，而是椭圆的离心角。

探究3：当椭圆的焦点在y轴上时的参数方程是什么样子的，其参数是否满足探究2中的几何意义？

当椭圆的焦点在y轴上时的普通方程为
，

则它的参数方程为

学生之间先进行探究一的讨论，发现
不是椭圆的旋转角，然后再自己原有讨论的基础上跟着老师一起探究参数
的几何意义，得出原来参数
的几何意义是椭圆的离心角。探究3让学生自主探究，发现不论椭圆的焦点在哪，其参数的几何意义仍是椭圆的离心角。

探究1：类比圆的参数方程中参数的几何意义，猜想椭圆参数方程中参数的几何意义，引导发现不相同之处，否定原有猜想。

探究2：从所设M点的坐标出发，通过数形结合思想，引导学生从已知点坐标出发，进行探究，思考椭圆的参数方程中参数的几何意义。激
发学生的好奇心和探究欲。

探究3：让学生明白椭圆的参数方程的几何
意义不会随焦点位置的不同而改变。



四、
讲练结合（20’）

1、例1：在椭圆
=1上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小的距离。

解：法一：设M为(x,y)则，
，
，再运用点到直线的距离公式求得距离的最小值；

法二：先设出与直线x+2y-10=0斜率相同的直线x+2y
+c=0，求出该直线与椭圆相切时的方程，再运用线与线的距离公式求出x+2y-10=0与x+2y+c=0最小距离；

法三：运用所学的参数方程设出M点，再用点
到直线的距离公式求得。

变式1：求点M到直线x+2y-10=0的最大距离；

变式2：求椭圆上的点到直线x+2y-10=0的距离d的取值范围。

小结：法一与法二主要是运用解析几何的方法做的，而法三运用的是新学的参数方程，结合点到直线的距离公式及辅助角公式求得的。

练习：例2：设P(x,y)是椭圆
上的一个动点，求x+2y的取值范围。（让学生根据以上方法自主选择恰当的方法求解）

2、例3：（2017年全国I卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
，直线l为x+4y-(a+4)=0。

（1）若a=-1，求C与l的
交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为
，求a。

认真省题，在例1中，回忆起过去所学的解题方式，感受其中弊端，在用椭圆的参数方程进行解题时，发现其中的优势和快捷。在变式和例题的作答中体会解题过程，并产生一定的印象。在例3中，接触高某某，感受高考的出题模式，为未来的高考复习做铺垫。

通过讲解与练习交替进行，深入了解参数方程的作用，通过一题多解，培养学生的发散思维。使学生理解与巩固所学内容，学以致用。



五、归纳总结（3’）

1、椭圆的普通方程为

则，

椭圆的参数方程为
。

2、
的几何意义：椭圆的离心角

学生巩固今天的上课内容，加深印象。

总结与归纳帮助学生理解并巩固今日所学内容。



六、作业布置（1’）

书本p34 1,2

学生清楚记下作业。

通过课后作业巩固新知识。



板书设计：



椭圆的参数方程

复习：

二、椭圆的参数方程：[来源:***ZXXK]

探究XXXXX的几何意义

例题





椭圆的参数方程教学反思

椭圆的参数方程一节，主要目的在于让学生理解并掌握椭圆的参数方程，培养类比能力及探究意识，让学生
更深入地体会参数方法的优越性。在整个活动中我收获了很多，评课过程中各位老师提出的宝贵意见，这些都是我在以后的教学中值得注意并改进的。现对本此活动进行如下总结：

在本节课的设计上，整体思路是通过类比圆的参数方程的研究方式，学生选取适当的参数，合作探究椭圆的参数方程，在探究过程

中，教师利用几何画板动态演示椭圆的形成过程，帮助学生在几何图形中观察获得变量关系。在例题练习的选择上，考虑学生的认知特点，本着由简单到复的原则，由浅入深，逐层推进，在例题的解决过程中，采取教师引导、学生列式的模式，从而达到落实重点、突破难点的目的；在作业的布置上，梯度性设置，尊重不同学生的个性化发展
，满足学生的多样化学习需求。

在具体实施的过程中，也出现了一些
偏差，主要体现在以下几个方面：

第一，回顾化圆的普通方程为参数方程时，方法本质的提取不够细致，以致于学生没有及时领会其本
质方法，在化椭圆的普通方程为参数方程的过程中耽搁了一些时间。

第二，在探究的过程中，不够大胆，还是没有给予学生充分自主的合作探究空间，学生的积极性没有得到充分的调动，没有更好地达到合作探讨交流的目的；在简单练习的处理上，既然已经可以预料到学生在此环节不会有大的问题，那么如果能够大胆地放手
，让学生自己交流评价结果，不仅能够真正地让学生自主，也能提高学生的
评价意识与发现问题的能力，加深
对知识的理解，从而使课堂效果更好、更有效。

第三，在对例1的讲解过程中，对于辅助角公式的应用，应该强调，在例题连续性的设置上，我觉得还可以更好些，可以直接类比圆的相关题型，从而类比其解法，获得椭圆相关问题与方法，体现了不同知识结构与方法的一致性，有助于学生方法体系的建立
。通过听其他老师的课，也注意到设置例题时，如果能够明确与前后知识的联系，将更有利于学生对数学知识方法体系的整体把握。

第四，教师亲和性方面有所欠缺。亲和性是“双主体互动”教学模式对

教师提出的具体要求之一，在教学活动中，应当让学生充分体会到教师在关注每一位学生，教师是学生的朋友，使学生在轻松愉快而不是严肃的氛围中接受知识。 “微笑教学”的要求没有得到应有的体现。因此在今后的教学实际中
，我会更加注重自己表情、语调等方面的改善，使学生更有效地完成知识的学习。

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