椭圆及其标准方程
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椭圆及其标准方程
大多数的天体运动都是按椭圆轨道运行的
学习目标及重难点
1.掌握椭圆的定义及其标准方程，
2.能正确推导椭圆的标准方程，
3.根据已知条件，会求椭圆的标准方程
重点：椭圆的定义及其标准方程.
难点：椭圆标准方程的推导
回忆： 1、圆是怎么画出来的？
2、圆的定义是什么？
3、圆的标准方程是什么形式？
猜想： 1、椭圆是怎么画出来的？
2、椭圆的定义是什么？
3、椭圆的标准方程又是什么形式？
圆是点的轨迹.
是平面内到定点距离等于定长的动点的轨迹
椭圆是满足什么几何条件的点的轨迹呢？
数 学 实 验
[1]取一条细绳，无弹性。
[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2
[3]用粉笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
F1
F2
M
请同学们观察，并思考下面两个问题：
(1)动点（移动的粉笔尖）运动出的轨迹是什么？
(2)动点满足怎样的几何条件？
探 究活动
F1
F2
2.通过你画图的过程，归纳总结出椭圆的定义
思考：1.在画的过程中，有哪
些量是变化的，那些量是不变的。
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做焦距．
1.椭圆的定义
思考：
1、能否由此得到：到两个定点的距离之和等于定值的点的轨就一定是椭圆吗？
2、在平面上到两个定点F1， F2的距 离之和等于定值2a或小于定值2a的点的轨迹分别又是什么呢？
结论：
当2a＞"#F1F2"#=2c ，轨迹为：椭圆
当2a＝ "#F1F2"#=2c，轨迹为：线段
当2a＜ "#F1F2"#=2c，轨迹为：不存在
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做焦距．
1.椭圆的定义
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该
如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a
（3）定长2a㧐 |F1F2|
（1）在平面内
练习： 已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和等于6,则M点的轨迹是什么?
A.直线 B.椭圆
C.线段 D.不存在
大于
小于
O
X
Y
F1
F2
M
2.椭圆方程的推导
步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标
步骤二：找关系式
步骤三：列方程
步骤四：化简方程
步骤五：验证
求曲线方程的步骤:
?1、 探讨建立平面直角坐标系的方案
2、建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
方案一
以F1、F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2
的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系．
分两组由学生自己完成设点、列式、化简。
(-c,0)
我们把方程 叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、 F2(c，0)．这里c2=a2－b2．
如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里c2=a2-b2．方程是怎样呢？
只须将(1)方程的x、y互换即可得到
这个也是椭圆的标准方程
x
Y
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪
一个轴上。
注意：
求椭圆的标准方程，要先定“位”，
即确定焦点的位置；其次是定“量”，即求 a、b 的大小 . a、b、c 满足的关系有：
应用举例
[例1].判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距以及
a、b的值（口答）
②
1．椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4，0）
（4，0),椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10.
.
例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程：
2.两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点(-3/2, 5/2).
a>3
0<b<9
例3
1、已知定点
（-4，0 ）、
（4，0）和动点
求满足的动点 的轨迹及其方程。
2、已知：椭圆的中心在原点，焦距为6， 椭圆上的点到两焦点的距离和为10，求它的标准方程。
3、求焦点在
轴上，
焦点为
，且过点
的椭圆方程
课堂练习
4、已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4），求它的标准方程。
5、已知：椭圆经过点A(2,
),B(-3,
)，求它
的椭圆方程
定 义
图 形
方 程
焦 点
F(XXXXXc，0)
F(0，XXXXXc)
a,b,c之间的关系
a2 -c2= b2
|PF1|+|PF2|=2a (2a>2c)
观察椭圆方程有什么特点？这样根据椭圆方程来找
焦点在x轴上还是y轴上？
课后作业】
1.第96页习题第1、2、3题.
2.如图，圆Ｏ的半径为定长r，A是圆Ｏ内的一定点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆周上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
3.已知B、C是两个定点，|BC|=6，
的周长为16.问点A的轨迹是什么曲线？你能写出它的方程吗？
4、填空：
已知椭圆的方程为： ，若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长________[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]
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