椭圆的教学设计
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选修2-1《2.2.1 椭圆及其标准方程》教学设计
**_*学 刘某某
一、高中数学核心素养
本节课主要培养学生的数学抽象能力和数学运算能力，其中椭圆的定义培养学生的数学抽象能力，引导学生通过动手实验的方法抽象出椭圆的定义；椭圆标准方程的推导锻炼学生的数学运算能力，对于双根号的移项再平方，计算量较大，需要学生掌握化简方法。
二、教学背景分析
1. 教材分析
在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在选修2-1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上，通过求椭圆的标准方程，是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
2. 学情分析
（1）在必修2第二章里学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤，具备主动探究椭圆知识的基础；
（2）根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战；
（3）我教授的是学校的尖子班，学生理解能力和计算能力较强，但不够细心，容易忽略细节。
3. 教学方法及手段
本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、交流、分析、概括等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人。
三、教学目标及重难点
1. 教学目标
知识与技能
（1）掌握椭圆的定义；
（2）理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式。
过程与方法
（1）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；
（2）通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。
情感、态度与价值观
在动手画椭圆的过程中，培养学生的动手意识和合作意识，亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学的对称、简洁、和谐美，同时养成扎实严谨的学习习惯，增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神。
2. 教学重难点
重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式
难点：椭圆的标准方程的建立和推导
四、教学过程设计
教学环节
教师为主活动
学生为主活动
设计意图
情景引入
【提问】在我们的日常生活中，椭圆随处可见。你能举出椭圆形的例子吗？
在肯定学生的回答后，老师加以补充。
? ??由此可见，椭圆是我们生活中一种重要的曲线。引出课题——椭圆及其标准方程。
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通过举例和展示生活中椭圆形的图片，让学生认识到椭圆和日常生活关系密切。
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概念形成
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概念形成
【学生动手实验】
???若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？
【提问】
我们能否抽象出椭圆定义？
预设：与两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆
教师引导，学生补充“平面内”。
【提问】这个常数是任意实数吗？有什么限制条件吗？
预设：考虑绳长和两个定点的距离
【提问】继续深化问题：如果常数/
常数/时，将是什么样的情形？
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?学生以组为单位，合作探究，教师巡视指导
学生讨论分析
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通过分析动点/与定点的关系，使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，培养思维的严谨性
经概括总结后得到：【板书】
文字语言：平面内与两个定点/的距离之和等于定长（大于/）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点/叫做椭圆的焦点，两焦点的距离/叫做椭圆的焦距。
数学语言：//
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概念深化
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1. 已知/、/是定点，/，动点满足/，则点M的轨迹是（???? ）A．椭圆? B. 直线? C.圆?? D.线段
?2．已知/是两个定点，/，以线段/为一边画三角形，试问满足条件“/的周长为20”的顶点/的轨迹是什么样的图形？为什么？
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在题目2中，要注意剔除与B，C共线的两个点。
理解数学往往不可能一次完成，通过这两道题，学生来“做”数学，在“做”的过程中，认识到对椭圆定义的理解，一要抓住椭圆上的点所满足的条件，二要注意定义中对“常数”的限定，从而进一步加深对椭圆概念的理解。
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方程推导
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如何求椭圆的方程呢？
【提问】求圆的方程的一般步骤是什么？
①? 建系设点：
【提问】根据简单和优化的原则，如何建立平面直角坐标系？（对称，简洁）
以两定点/、/所在直线为/轴，线段//的垂直平分线为/轴，建立直角坐标系（如图）．设/．/，/为椭圆上的任意一点，则/、/．又设/与/、/的距离的和等于/．
②? 方程表示：/
③? 坐标化：
用含有动点坐标的方程表示：/．
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④? 化简：
预案：移项后两次平方法
/
引导学生观察椭圆图形和推导出的椭圆方程的系数，学生容易发现/实际上对应图形中的特殊线段/，不妨令其为/，则有/，化简得到椭圆的标准方程/
【板书】椭圆的标准方程
引导学生比较归纳出两种标准方程的区别。
总结归纳：在两种标准方程中，因为/,所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上。
【练习】人教B 版/例2
求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
（1）/
（2）/
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①???? 建系设点
②???? 方程表示
③???? 坐标化
④???? 化简
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回答
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建立如图坐标系：
/?
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小组交流，尝试化简
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观察方程的特点，得出标准方程。
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记笔记
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思考交流，并回答
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在标准方程的推导过程中，问题的设问让学生认识到在推导方程的过程中进行等价
变形的重要性，培养严谨的数学演算习惯。提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神；感受数学的简洁美、对称美
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让学生对椭圆的两种标准方程有个清晰的认识，体会问题的本质所在，只是位置的不同，图形是一样的，为后面的应用做准备
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?不是标准方程的要先将方程化为椭圆的标准方程，确定出/，再求出c。从而进一步认清椭圆标准方程两种形式，再次突破本节课的重点——椭圆标准方程的两种形式。
初步应用
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例1?? 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
（1）?????? 两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3,0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8；
（2）?????? 两个焦点的坐标分别是（0，-4），（0,4），并且椭圆经过点（/）
（3）?????? 已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10
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学生思考后回答
（3）小题是对（1）（2）的变式题，其目的是对学生进行分类讨论数学思想的渗透，达到拓展知识、提高能力的目的。
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归纳小结
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【课堂总结】
1．? 知识层面
2．? 方法层面
3．? 学习反思
学生小结归纳
学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。
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作业布置
必做题：知识点一、二和A组题
选做题：知识点三和B组题
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?分层次布置作业，帮助学生巩固所学知识；为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间。
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