2-1椭圆及其方程 教案

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2.2.1椭圆及标准方程

【教学目标】

1．知识与技能目标：?

（1）掌握椭圆定义和标准方程.??????????????????????

（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题.?

2．过程与方法目标：???

（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利?用规律解决实际问题的能力.?

（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思?想和方法?

3．情感态度与价值观目标：?

（1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.?

（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简某某”.?

（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他?人合作交流的意识.?

【重点难点】

1.教学重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导．

2.教学难点：椭圆标准方程的推导．

【教学过程】

☆情境引入☆

课件出示生活中的椭圆，从而引出本节内容。

☆探索新知☆

一，椭圆的定义

师生共同做数学实验，通过类比画圆的工具和方法从而归纳总结出椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，

这两个定点叫做椭圆的焦点，

两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？

线段F1F2

问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？

轨迹不存在

几点说明：

1、F1、F2是两个不同的定点；

2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；

3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c；

4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.

5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）

练习，用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.

到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹. 是

到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹. 不是

二，椭圆的标准方程

1、回顾:求曲线的一般步骤:

建系、设点、列式、化简。

2、已知椭圆的焦距
，椭圆上的动点
到两定点
,
的距离之和为
，求椭圆的方程.如图1，以两个定点
,
所在直线为
轴，线段

的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设
，点
为椭圆上任意一点，则

（称此式为几何条件）[来源: ]所以，得
（实现集合条件代数化）

为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得

将这个方程两边平方，得

（x+c）2+y2 = 4a2 －4a
，整理得

上式两边再平方，得

,整理得

方程
结构较复杂，不便记忆，还可以继续化简吗？[来源:学.科.网]

由椭圆的定义可知，2a＞2c,即a＞c,所以
＞0，两边同除以
，得

.

因为
＞0不妨令
，那么所得的椭圆方程可化为：

，
（1）

我们称方程（1）为椭圆的标准方程.它的焦点在
轴上。

问题：如果焦点
,
在y轴上，且
,
的坐标分别为：（0，-c）,(0,c), a ,b意义同上，那么椭圆的方程是什么呢？

可让学生先猜想结论：
（a＞b＞0），并说明理由。

让学生通过对
进行观察，与前面对比。

实际上只要将前面的
轴与y轴互换，就可得到焦点在y轴的椭圆的标准方程：

，

（2）两种标准方程特点的比较：

1. 两个方程中都有：a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b与c大小不定。

2. 两个方程焦点位置的确定：哪个分式的分母大，焦点就在哪个轴上。

练习:下列哪个是椭圆，焦点在哪个轴上。

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在x2与y2的大分母对应的哪个轴上。

例1.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并经过点
，求它的标准方程。

1,定义法

解：椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

（a＞b＞0）.由椭圆的定义知

2a =

,所以a =

又因为c = 2 ，所以
.因此，所求椭圆的标准方程为

2，待定系数法

解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：
将点代入方程得

(1) 又因为
所以有

(2)

☆课堂练习☆

1.（1）已知椭圆的方程为：
，则a=5，b=4，c=3，焦点坐标为：（3,0），（-3,0）

焦距等于6;

（2）已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，则点P到右焦点的距离是

若CD为过左焦点F1的弦，则?CF1F2的周长为 ，则?F2CD的周长为 。

2.求满足下列条件的椭圆的标准方程：

①满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为

②满足a=4, c=
，焦点在Y轴上的椭圆的标准方程为

☆课堂小结☆

1．椭圆的定义

2. 椭圆的标准方程

☆课后作业☆

作业：P49习题2.2A组：1，2.

课后练习:高中同步导学案P22练习

]

椭 圆 及 标 准 方 程

西 吉 中 学

刘某某

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