“等比数列”教学设计

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从“方法”的视角整合“数列”

—— “等比数列”教学设计及实施案例分析

一、设计前的思考

1、关于内容

本节课是《普通高中课程标准实验教科书XXXXX数学必修5》（人教B版）第二章数列第2.3.1节等比数列的第一课时。

数列是高中数学的重要内容之一，从学科知识体系来说，数列作为一种特殊的函数与函数部分的知识密不可分；从实用价值来说，数列尤其是等差、等比数列有着广泛的实际应用，如在存款利息、购房贷款、资产折旧等计算问题中都有涉及。

2、关于学生

（1）本班学生学习数学的热情较高，但学习基础差别较大，部分学生接受新内容时需要老师和同学更多的帮助；

（2）学生已经学习了数列、等差数列的相关知识，了解了研究特殊数列的基本流程：

特例→定义→通项公式→求和公式；

（3）学生在进行数列的递推公式的学习时已经接触了“叠加”、“叠乘”两种方法，在等差数列通项公式的推导时又运用了“叠加法”，故通过类比可以顺利地完成等比数列通项公式的推导。

3、关于教师

作为数学教师，我们都清楚地知道“数列”在高中数学中的重要地位，也清楚我们要整体把握这部分教学内容，但是在具体授课的过程中，由于缺少使各部分内容相互连结的工具和手段，难免出现数列概念、等差数列、等比数列好像只是三块不同的学习内容一样，偶尔能在学习“等比数列”相关概念和性质时能做一些简单的类比已是很大的进步了。

正是带着对这样一个问题的思考，我开始对“数列”这一教学内容展开研究的，我们试图找到一种途径能使得学生在学习完数列后，除了记住一些结论、会解决一些问题外，还能对这一块内容有一种整体上的认识，最好还能对学习其它内容有些帮助。

经过很长一段时间艰苦的思索和实践，最终我们发现从“方法”的视角来整体把握“数列”内容是一种效果不错的可行方案。

在这样一种教学思路的指导下，我们开始了“数列”的教学。首先在学习数列概念时就强化了数列的“通项”、“求和”、“性质”等，在学习“等差数列”时，除了让学生掌握“等差数列”的相关知识点外，还强化了研究特殊数列的一般方法，为后续学习“等比数列”等做好铺垫。

本节内容在学习等差数列之后，学生运用类比的方法，研究新问题。因此我的设想是在“等差数列”相关内容的基础上，放手让学生思考，以小组为单位展开研究，在获取知识的同时锻炼能力。一节课下来，实现了让学生从整体上把握“数列”内容的基本目标，达成了知识与能力并重的教学意图。

二、教学设计

课题

等比数列



授课教师



授课班级





教学重点

研究特殊数列的一般方法



教学难点

等比数列“等比”特征的理解和应用



教学

目标

1. 掌握研究特殊数列的一般方法；

2. 掌握等比数列的定义；

3. 掌握等比数列的通项公式和推导方法



教学

流程





教学过程



教学环节

设计意图



一. 创设情境，课题引入

活动一：

复习“数列”、“等差数列”的相关知识，在着重分析“从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”这一特殊数列定义的基础上，引导学生思考：

1. “等差数列”作为一种特殊的数列，研究的是相邻两项之间的运算（差）的结果为定值的情况，那么除此之外我们还可以研究哪些内容呢？（和、积、比为定值即等和数列、等积数列、等比数列）；

2. 有了我们学习等差数列的基础和经验，今天就由同学自己来尝试研究这三种特殊的数列。在开始之前请同学们回顾我们研究特殊数列的一般方法是什么？（特例→定义→通项公式→求和公式）

“温故而知新”，引导学生在复习已有知识的基础上，引出新的研究方向；

培养学生梳理解决问题的思路和方法的意识。



二. 类比推理，新课探究

活动二：

将学生按4人一组分成11组，1、2、3组研究“等和数列”，4、5、6组研究“等积数列”，7-11组研究“等比数列”。

学生按分好的组研究相关的内容，希望学生能自行解决等和数列、等积数列的相关内容，理清等比数列的研究思路和部分内容。

本节内容在学习等差数列之后，学生运用类比的方法，研究新问题。因此我的设想是在“等差数列”相关内容的基础上，放手让学生思考，以小组为单位展开研究，在获取知识的同时锻炼能力。

通过教师引导，学生分析具体数列中体现的数列中相邻两项间的数量关系，从而理解等和数列定义

通过前述训练，学生应能顺利解决高考第14题，以此鼓励学生。

通过教师引导，学生分析具体数列中体现的数列中相邻两项间的数量关系，从而理解等积数列定义

及时总结，提升学生的认识水平

通过教师引导，学生分析具体数列中体现的数列中相邻两项间的数量关系，从而深刻理解等比数列定义

由学生自己意识到
和
限制条件，从而最大限度地减少以后出错的可能性

引导学生在归纳的基础上想办法证明。



活动三：

在学生分组探究的基础上，由学生自己叙述、讨论、完善，教师板书（或ppt展示）并适当引导。

（一）等和数列

1、特例

（由学生给出，但教师书写时只写出奇数项，之后用省略号代替，为后续思考求和公式做好铺垫）

（教师引导学生分析例子中体现的相邻两项间的关系，让学生充分理解“等和”这一特征；同时提示学生注意其与正整数的对应关系，凸显其函数特征）

2、定义：

（在学生叙述定义的文字描述后，引导其思考对应的代数形式）

（1）如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么我就称其为等和数列

这个常数叫做等和数列的公和，记为A（可根据学生描述调整字母）

（2）
（A为常数，
，n≥2）

3、通项公式

（教师明确条件：等和数列
，首项为
，公和为A；学生给出通项公式，必要时由教师提醒类比分段函数进行讨论）

等和数列
，首项为
，公和为A，则其通项公式为：

4、求和公式

（此处是学生容易出现理解困难的地方，必要时教师可以对学生给出的具体例子进行分析以帮助学生理解，让其注意到需要分类讨论）

在此基础上，教师询问学生关于“等和数列”还有什么问题。在解答学生的疑问后，教师展示2004年北京高考第14题：已知数列{an}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为 ，这个数列的前n项某某Sn的计算公式为 。

在学生顺利解决后以此表扬、鼓励学生。

（二）等积数列

1、特例

（由学生给出，但教师书写时只写出奇数项，之后用省略号代替，为后续思考求和公式做好铺垫）

（教师引导学生分析例子中体现的相邻两项间的关系，让学生充分理解“等积”这一特征；同时提示学生注意其与正整数的对应关系，凸显其函数特征）

2、定义：

（1）如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个常数，那么我们就称其为等积数列

这个常数叫做等积数列的公积，记为B（可根据学生描述调整字母）

（2）
（B为常数，
，n≥2）

3、通项公式

（教师明确条件：等积数列
，首项为
，公积为B；学生给出通项公式，必要时仍由教师提醒类比分段函数进行讨论）

等积数列
，首项为
，公积为B，则其通项公式为：

（教师引导学生若
=0则必有B=0，此时数列将不再具有前述较好的规律性，通项公式也就不能整理成上述形式。所以我们一般只研究
≠0、B≠0的情况）

4、求和公式

（虽然有等和数列的研究基础和经验，此处仍会是学生容易出现理解困难的地方，必要时教师可以对学生给出的具体例子进行分析以帮助学生理解，让其注意到需要分类讨论）

教师引导学生分析“等和数列”、“等积数列”的异同，并简单总结：等和数列都是等积数列，但等积数列不一定都是等和数列。

（三）等比数列

1、特例（由学生给出）

（教师引导学生分析例子中体现的相邻两项间的关系，让学生充分理解“等比”这一特征；同时提示学生注意其与正整数的对应关系，凸显其函数特征）

2、定义：

（1）如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数那么我们就称其为等比数列

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母
（
≠0）来表示。

（2）
（
为常数，
≠0，
，n≥2）

（教师引导学生分析出
≠0，
）

3、通项公式

（教师明确条件，先由学生归纳给出通项公式）

等比数列
，首项为
，公比为
，则其通项公式为：

（教师提醒学生注意
≠0，
）

教师提醒学生注意公式需要证明，然后由学生自行讨论证明方案。

根据等比数列的定义，我们可以得到：?

,?

进而有
，即





活动四：

（此环节可根据课上实际情况调整，时间可长、可短，若时间太紧张也可省去）

学生自己设计新的数列，并由其它同学判断是否为等比数列，若是请写出其通项公式。

充分调动学生参与到课堂活动中来，同时落实等比数列的相关知识。



三. 归纳总结，提炼升华

1.本节课你的收获是什么？

知识层面：

方法层面：研究特殊数列的一般方法

叠乘法

2.下节课你还想研究什么？

等比数列的求和公式，XXXXXXXXXX

由学生自己小结，在总结知识的同时，也注重方法的提炼。这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。





三、课堂实录片段分析与反思

【片段一】

师：今天我们就一起来研究这样三种新的特殊数列，在开始研究之前，请同学们回忆我们研究等差数列时总结的“研究特殊数列的一般方法”是什么？

生：特例→定义→通项公式→求和公式

XXXXXXXXXX

【分析】

在我们的教学过程中，应最大限度地做到知识与能力并重，并协调好二者之间的关系，这是海淀区教师进修学校的邵某某老师在指导我备课时重点强调的，也是本节课教学设计的一个基本出发点，课后也得到评课老师一致认可。

本节课是《普通高中课程标准实验教科书XXXXX数学必修5》（人教B版）第二章数列第2.3.1节等比数列的第一课时。在此之前，学生已经学习了数列、等差数列的相关知识，了解了研究特殊数列的基本流程：特例→定义→通项公式→求和公式。而且学生在进行数列的递推公式的学习时已经接触了“叠加”、“叠乘”两种方法，在等差数列通项公式的推导时又运用了“叠加法”，故通过类比可以顺利地完成等比数列通项公式的推导。

正是基于“能力立意”的原则，我在设计本节课时的主体思路是在学习等差数列之后，学生运用类比的方法，研究新问题。因此我的具体设计是在“等差数列”相关内容的基础上，放手让学生思考，以小组为单位展开研究，在获取知识的同时锻炼能力；同时也提升学生的认识水平，加深了其对知识的理解。

事实上本节课让学生在熟练掌握“特殊数列研究方法”的基础上，完成了对“等和数列”主体部分的研究，此时其它的特殊数列如“等积数列”、“等比数列”就变成“方法”下的一些具体研究对象，而不是一个很难的学习内容。所以就能较为顺利地完成对“等和数列”主体部分的研究和“等比数列”定义、通项公式的研究，基本达成了设计的预期目标：让学生在获取知识的同时锻炼能力。

【片段二】

师：同学们，前面我们学习了数列的相关知识，还研究了一种特殊的数列，这种特殊数列是_______？

生：等差数列

师：等差数列是怎么定义的呢？

生：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数

师：我们可以看出作为一种特殊的数列，等差数列研究的是相邻两项之间运算的结果为定值的情况，而作为两项之间的运算除了做差之外，还有什么？

生： 求和、乘积、除法

师：那么我们还可以在这方面继续展开研究

XXXXXXXXXX

【分析】

正如该片段中所描述的那样，本节课开始时，教师引导学生复习“等差数列”，并强调“等差数列研究的是数列中相邻两项之间的某种运算（差）为常数的情况，那么请同学们思考我们还可以研究那些内容？”

老师们在评课时都认可这样一种引入方式，首先是问题导向清楚，能起到引导自己学生想到“等和、等积、等差”数列；同时提升学生的思维水平，让学生从运算的视角来审视各种特殊数列，也为后续以此种方式学习圆锥曲线做好铺垫。

【反思一】

“可以更全面一些吗？”

（1）本节课设计时确定的主线和重点就是引导学生在掌握特殊数列研究方法的基础上自己研究包括等比数列在内的几种特殊数列，但是就会出现课后评课老师指出的一个问题：“本节课对于数列的函数本质强调的不够”。

讨论后，老师们认为如果时间和条件允许的话，我们确实应该引导学生强化数列的函数属性，但是本节课如果强调了这一点必然会冲击其它内容，所以可以本节课简单点一下，然后下节课再重点讨论。

（2）正如片段二中所描述的一样，本节课开始时，教师引导学生复习“等差数列”，并强调“等差数列研究的是数列中相邻两项之间的某种运算（差）为常数的情况，那么请同学们思考我们还可以研究那些内容？”

老师们在评课时都认可这样一种引入方式，但也有老师提出：学生熟悉的运算除了“＋、—、XXXXX、XXXXX”外还有很多其它的，但学生没能充分放开去想其它的运算；而且运算的结果除相等外还有很多其它情况，学生也没能想到。

事后反思我们可以看到，除了学生自身的问题外，此处教师急于引出主题，引导的痕迹过于明显，应是导致这一情况出现的主要原因。我们可以事后告诉学生我们暂不研究，但是不应出现学生没想到的情况，这也是本节课的遗憾之一。

正像北京***的王某某老师在点评时强调的：“教学既有其科学属性，同时又具有艺术特征，而艺术我们是无法像科学那样进行定量研究的，只能依靠直觉和经验来判断。”这种判断往往是有风险和争议的，但是从另外一个角度来看，争议也正是我们一起讨论、研究的素材和基础，这或许正是“教学”最富魅力的地方。

【反思二】

“可以走的更远一些吗？”

从“方法”的视角整体把握教学内容，以能力立意为原则设计教学是本节课的一个亮点，但是课后专家、老师们评课时也提到：我们在这种理念下可以走的更远一些吗？也就是只让学生用在等差数列处学到的方法仔细研究“等和数列”，这样可以更充分地使学生能力得到锻炼和提升，而“等积数列”、“等比数列”完全可以放在后面研究。

但是也有老师指出：这种情景以前也经常出现在我们的课后讨论中，但结果往往是讨论就此打住。事实上我们更想知道“后面”的问题怎么解决。放在下节课继续讨论吗？那么课时不够的老问题怎么解决？这是新课改后大家已经反映比较强烈的问题了，这样做只会恶化这种情况。放在课后学生自己解决吗？那么本来可以课上解决的问题，如等比数列的相关知识，现在放在课后让学生自己解决，是否在某种程度上加重了学生的学习负担呢？这似乎与新课改的理念不符。

之后大家围绕这样一个话题展开了热烈的讨论，多数老师较为认可的想法是先研究“等和数列”，教师提出让学生课后研究“等积数列”，然后让学生完整地研究“等比数列”。

还有老师提出来：作为一种能力训练，本节课前面的主题内容是否放在“等比数列”学习之后作为一个专题研究更为合适？

老师们讨论后感觉各有各的好处，这样一种想法可能学生能将等比数列的相关知识学习得更扎实一些，但关于特殊数列的研究方法训练机会就会相应减少；而本节课的设计方式能让学生更好地掌握特殊数列的研究方法并锻炼了能力，但是难免有冲淡等比数列重要性的嫌疑。

正如北京***的冯某某老师在评课时所说：“教学就是一种选择，教师面对一个具体的教学内容时，会有很多种想法、方案，而教师只能根据自己的学生和具体的情况选择其中一种。”由于各种条件的限制，往往都会出现不能兼顾的局面，或许这也就是教学自身固有的特征吧。

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