2.4 等比数列的概念及通项公式

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第1课时　等比数列的概念及通项公式

第二章　XXXXX2.4　等比数列

学习目标

1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.

2.掌握等比中项的概念并会应用.

3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.

知识点一　等比数列的概念

思考　观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.

①1,2,4,8,16，XXXXX；

③1,1,1,1，XXXXX；

④－1,1，－1,1，XXXXX.

答案　从第2项某某，每项与它的前一项的比是同一个常数.

梳理　等比数列的概念和特点.

(1)文字定义：如果一个数列从第 项某某，每一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，通常用字母q表示(q≠0).

(3)等比数列各项均 为0.

2

前

比

同一

公比

不能

思考　在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？

知识点二　等比中项的概念

梳理　等比中项与等差中项的异同，对比如下表：

等比

等比

两

相反数

ab＞0

思考　等差数列的通项公式是如何推导的？你能类比推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式吗？

知识点三　等比数列的通项公式

答案　等差数列通项公式的推导是借助累加消去中间项，等比数列则可用累乘.根据等比数列的定义得

将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，

当n＝1时，上面的等式也成立.

∴an＝a1qn－1(n∈N*).

梳理　等比数列{an}首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1.

例1　已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，XXXXX，f(an)，XXXXX是首项为4，公差为2的等差数列，

求证：数列{an}是等比数列.

类型一　等比数列的判定

证明　由题意知f(an)＝4＋2(n－1)＝2n＋2＝logman，

∴an＝m2n＋2，

∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，

∴数列{an}是等比数列.

跟踪训练1　已知数列{an}的前n项某某Sn，且Sn＝ (an－1)(n∈N*).

(1)求a1，a2；

(2)证明：数列{an}是等比数列.

类型二　等比数列通项公式的应用

例2　一个等比数列的第3项某某4项分别是12与18，求它的第1项某某2项.

解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么

反思　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项.

跟踪训练2　在等比数列{an}中：

(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；

解　由等比数列的通项公式得，a6＝3XXXXX(－2)6－1＝－96.

(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.

解　设等比数列的公比为q，

所以an＝a1qn－1＝5XXXXX2n－1.

类型三　等比中项

√

反思　(1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项.

(2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个.

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