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等差数列的前n项和（一）
武安三中
卜某某
高中人教A版必修五第二章第三节第一课时
教学目标
1、等差数列前n项和公式．
2、等差数列前n项和公式及其获取思路；
3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题．
4、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用；熟练应用等差数列的求和公式。
教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。
(1) 等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有:
an=a1+ (n-1) d
(2) 等差数列的性质:
在等差数列㘚an㘎中,如果m+n=p+q
(m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
复习回顾
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙某某为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？
对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，XXXXX，n，XXXXX的前100项的和。
100个101
高斯
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
问题探求:
如何求:1+2+3+4+XXXXX+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +XXXXX+(n-2)+(n-1)+n
S= n+(n-1)+(n-2)+XXXXX+ 3 + 2 +1
设等差数列a1,a2,a3,XXXXXan，XXXXX
它的前n 项某某 Sn=a1+a2+XXXXX+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+XXXXX+a2+a1 (2)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=XXXXX
由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
即 Sn=n(a1+an)/2
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导-
------倒序相加法
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
上面的公式又可以写成
解题时某某根据已知条件决定选用哪个公式。
正所谓：知三求二
例1． 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：
, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？
解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
根据等差数列前n项和公式，得
答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.
变式1：等差数列-10，-6，-2，
2，XXXXX前多少项的和是54？
本题实质是反用公式，解一个关于n 的一元二次函数，注意得到的项数n 必须是正整数.
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列 的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
根据等差数列前n项和公式：
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.
设该数列前n 项某某54
例2、若等差数列{an}前4项某某2，前9项某某－6，求其前n 项和的公式。
解：设首项为a1，公差为d，则有：
将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数
有什么特点？
则 Sn=An2+Bn
设 Sn= an2 + bn，依题意得：S4=2, S9= －6,
解某某：
解法2：
变式2.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求其前n 项和的公式
掌握并能灵活应用公式并体会方程的思想方法。
解
由S3=S11得
∴ d=－2
变式3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素个数, 并求这些元素的和.
解:
由7n<100得 n<100／7,
由于满足它的正整数n共有14个, ∴集合M中的元素共有14个. 即
7, 14, 21, XXXXX , 91, 98.
这是一个等差数列, 各项的和是
答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.
=735
练 习 一
（抢答）根据条件，求相应等差数列{an}的Sn:
①a1=5, an=95, n=10;
②a1=100, d=－2, n=50;
答案：①500；
②2550；
（江西高考文科17题）
（2） 等差数列 的前 项和记为 .已知 , .
(1)求通项 ;
(2)令 ,求 .
练 习 二（小组展示）
（1）已知等差数列{an}中a1=1且S4=S9, ak + a4=0求k的值。
1.推导等差数列前 n项和公式的方法
学生小结：
2.公式的应用中的数学思想.
-------倒序相加法
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知
其中三个量，可以求其余两个
-------知三求二
作业布置：
（一）书面作业：
1.已知等差数列{an},其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。
2.在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差
数列,求这10个数的和。
（二）课后思考：
思考：等差数列的前n项和公式的推导方法除了
倒序相加法还有没有其它方法呢?[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]
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