实际问题与二次函数（2）教案 刘明

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26.3　实际问题与二次函数（2）

教学目标：

1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。

重点难点：

根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。

教学过程：

一、复习巩固

1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?

2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函数的关系式，

(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。

答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－12，顶点坐标为(－12，34)。

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?

[对称轴是直线x＝－b2a，顶点坐标是(－b2a，4ac－b24a)]

二、范例

例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9

由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

请同学们完成本例的解答。

练习：P18练习1．(2)。

例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得－b2a＝29a＋3b＝6

解这个方程组，得：a＝－2b＝8 所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5。

解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到a(3－2)2＋k＝1a(0－2)2＋k＝－5 解这个方程组，得：a＝－2k＝3

所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。

例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4

因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c?依题意，得－b2a＝24ac－b24a＝－4c＝4 解这个方程组，得：a＝2b＝－8c＝4 所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4。

三、课堂练习

1. 已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到：－b2a＝－312a－b24a＝－1 解这个方程组，得：a＝49b＝83

所以，所求二次函数的关系式为y＝49x2＋83x＋3。

解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2－1

因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得a＝49

所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝49x2＋83x＋3．

小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。

2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

简某某：依题意，得－p2＝54q－p24＝－2 解得：p＝－10,q＝23

所以，所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。

四、小结

1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?

[两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c

(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)]

2．如何确定二次函数的关系式?

让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。

五、作业：

1. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。

2．函数y＝x2＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。

3．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。

4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。

5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。

6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?

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