数列求和课例的教学设计

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数列求和课例的教学设计

教学目标:

研究近几年的高考试卷,发现数列与不等式,三角函数,向量等知识的综合应用往往出现在高考中的最后两题,成为学生的丢分题,从而加强数列综合应用的教学显得尤为重要.根据学生的认知水平和数列求和在新课程理念的要求,确定教学目标如下：

◆知识目标：

①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;

②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;

③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。

◆能力目标：

培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。

◆情感目标：

培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界.

二 教材重、难点

数列求和是一个很重要的内容,前面已学习了等差与等比数列求前n项和的公式,但是不少题目是不能直接套用公式的,有些需要用一些特殊的方法,如课本上介绍的“高斯求和法”（“倒序相加法”）、“错位相减法”等．常用的数列求和法主要有下面几种：1．直接用等差与等比求前n项和的公式法；2．折项或并项求和法；3．奇偶求和法；4．裂项求和法；5．错位相减法；6.猜想归纳法．本节课是高三第一轮复习中数列求和的第一节,从而分析变换通项以及用局部和整体的思想来选择恰当的方法对非特殊的数列求和是本节课的重点与难点.

三 教学方法、手段

通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围.

四 学情分析

本人执教的学校是省重点中学,所教的班级是高三年级的实验班,学生具有较好的数学功底, 具备一定的独立思考、合作探究能力,因此本节课采用学生主讲、教师点评的授课方式,既能充分发挥学生主观能动性,又能充分暴露学生认知过程中的错误,更重要的是能达到预期的教学目的,获取理想的教学效果.

五 学法指导

为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法：

（1）自主性学习法,（2）探究性学习法,（3）巩固反馈法,

六 教学过程

1、分组求和法

所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例1．数列{an}的前n项和
，数列{bn}满
.

（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

解析：（Ⅰ）由
，

两式相减得：

，

同定义知
是首项为1，公比为2的等比数列.

（Ⅱ）

等式左、右两边分别相加得：

=

已知等差数列
的首项为1，前10项的和为145，求：

解析：首先由
则：

2、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）
（2）

（3）
等。

例3. 在数列{an}中，
，又
，

求数列{bn}的前n项的和.

解析： ∵
　 ∴

∴ 数列{bn}的前n项和

＝
＝

例4．设｛an｝是正数组成的数列，其前n项某某Sn，并且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

(1)写出数列｛an｝的前三项；(2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；

(3)令bn=

(n∈N)，求：b1+b2+XXXXX+bn-n.

解析：(1)略；(2) an=4n-2.； (3)令cn=bn-1,?

则cn=

=

=

b1+b2+XXXXX+bn-n=c1+c2+XXXXX+cn?

=

评析：一般地，若数列
为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：
首先考虑

则
=
。下列求和：
也可用裂项求和法。

3.错位相减法

设数列
的等比数列，数列
是等差数列，则数列
的前项和
求解，均可用错位相减法。

例5.已知
，数列
是首项为a，公比也为a的等比数列，令
， 求数列
的前项和
。

解析：

①-②得：

。

例6．已知数列
是等差数列，且

（Ⅰ）略；（Ⅱ）令
求数列
前n项和的公式.

解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）解：由
得

①

②

将①式减去②式，得

所以

4、组合化归法

例7.求和：
。

解析：

而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。

评析：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法。

5.逆序相加法

例8.设数列
是公差为
，且首项为
的等差数列，

求和：

解析：因为

评析：此类问题还可变换为探索题形：

已知数列
的前项和

，是否存在等差数列
使得

对一切自然数n都成立。

6.递推法

例6. 已知数列
的前项和
与
满足：

成等比数列，且
，求数列
的前项和
。

解析：由题意：

评析：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列
的前项和
的递推公式，是一种最佳解法。

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