抛物线及其标准方程-教学设计
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2.4.1 抛物线及其标准方程
一、教案背景
1.面向学生:中学 □小学
2.学科:高二数学
3.课时:2课时
4.学情分析:
学生在初中阶段学习过二次函数,知道其图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题。本节对b宋锵叨ㄒ寮氨曜挤匠痰奶骄浚氤踔薪锥味魏耐枷笙嗪粲XXXXX逑至酥醒XXXXX暗慕锥涡浴⑾谓有浴Ｊ导噬辖滩牡恼庵职才牛舱俏朔稚⒛训悖先现慕ソ栽颉３踔薪锥味杂诙魏难埃环矫嫒醚耘孜锵哂辛艘恍┘虻サ娜鲜叮欣谘员究文谌莸睦斫狻５硪环矫妫捎谘叭狈XXXXX耘孜锵呱钊氲奶骄浚热胛鞯墓勰钜部赡芑岫员究蔚难霸斐梢欢XXXXX母扇拧?/p>
5.学生课前准备:
(1)预习抛物线的相关内容，重新审视初中学过的二次函数；
(2)课前思考：教材P64-“信息技术应用”中提出的问题：“观察满足条件的动点M的轨迹，并找出动点M满足的几何条件？”
二、教学课题: XXXXX2.4.1 抛物线及其标准方程
从本节课开始，学生将对抛物线及其相关性质有更深刻地理解。从内容上看，这一节与前面的椭圆、双曲线的知识结构相同，研究方法为学生所熟悉，学生在自主探究活动方面也具备了一定的基础；从数学思想上讲，它始终贯穿着数形结合、化归、函数与方程的思想。
三、教材分析
抛物线是中学数学的重要内容，它贯穿在整个中学数学教材中，并随着学生认知水平的提高而不断加深。抛物线最早出现在初中数学课本中，作为二次函数的图象。高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面都有重要的应用。但对于这种曲线的本质学生并不清楚，二次函数不能代替对整个抛物线体系的研究。随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的标准方程及简单几何性质以后，已具备了探讨这个问题的一定能力。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要（抛物线的离心率e=1）。另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象相呼应，体现了中学数学学习的阶段性、衔接性。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。
(一)教学目标
1.知识与技能
（1）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；
（2）使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。
（3）明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题。
2.过程与方法
（1）能初步根据抛物线的特征选择不同的解决问题的方法。
（2）经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程。
（3）体会抛物线在生活中的应用，学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题。
3.情感态度与价值观
（1）了解抛物线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
（2）通过抛物线的定义及其标准方程的学习，进一步体会数形结合的思想, 养成利用数形结合解决问题的习惯。
(二)教学重点和难点
1.重点: 抛物线的定义及标准方程
2.难点: 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导，关键是坐标系方案的选择。
四、教学方法及教学思路
为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，本节将采用“引导探究”
式的教学模式。在课堂教学中，我将贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，积极主动的参与教学的全过程。由于抛物线的画法较之椭圆、双曲线，相对有些难度，因此我将采用《几何画板》作为教学辅助工具，在教学过程中利用它向学生们展示标准的抛物线图象。本节课在实验画法的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比并形成抛物线的概念，构建自己的知识体系，体验合作学习的快乐。
基于本节课教学内容的特点和学生的认知脉络设计如下教学思路:
五、教学过程
【设置情景，导入新课】
师：在初中我们就接触过抛物线，我们知道二次函数的图象就是抛物线。同时在学习椭圆、双曲线时，同学们举出了很多生活中的椭圆、双曲线。那么请同学们思考一下，生活当中，有没有抛物线的的影子呢？请大家举例。
（待学生回答后，展示课前制作好的ppt中的相关图片）
师：课前让大家思考了教材64页“信息技术应用”中提出的问题，
（用ppt展示问题）
已知：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
现在大家有结论了吗？结合我们已有的知识，判断一下满足条件的动点M的轨迹是什么？动点M在运动过程中又满足什么几何条件呢？
（课堂中利用几何画板演示画图过程）
生：学生观察画图过程，并讨论
归纳总结：通过观察发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|，即点M与定点F和定直线的距离相等。
【引导探究，获得新知】
师：在刚才的实验中，我们发现动点M满足到定点F和定直线的距离相等，并且其轨迹为抛物线。联想椭圆和双曲线的定义的产生过程，请同学们尝试一下，给抛物线下个定义。
（让学生自行归纳，使他们对抛物线的定义有更准确的把握，印象更为深刻，同时也锻炼了学生归纳总结的能力）
生：我们把平面内与一个定点F和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
师：（教师补充，完善定义，并强调易忽视的问题）
我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
强调：
轨迹是由点M在平面内运动形成的，不强调平面，形成的轨迹就不是抛物线；
定点F不能在定直线上；
抛物线上任意点M均满足到焦点F的距离与到准线的距离相等。
思考：为什么要强调定点F不能在定直线上呢？若定点F恰好在定直线上，那么到定点F的距离等于到定直线的距离的点的轨迹会是什么图形呢？
生：学生讨论，得出结果：当定点F在定直线上时，满足条件的点的轨迹是过点F且垂直于某某的一条直线。
师：了解了抛物线的定义，接下来我们最想知道的就应该是抛物线的方程了，因为通过方程我们可以探究抛物线的一些性质。那么如何求抛物线的方程呢？
请同学们回想一下，之前我们曾讲过的求曲线方程的基本步骤是怎样的？
（让学生在学习新知的同时，不断巩固已有知识，在此处强化求曲线方程的基本步骤，可以为后续求动点轨迹的综合问题打下坚实基础）
生：（1）建系；（2）设点；（3）列式；（4）化简；（5）证明
师：想得到抛物线的方程，我们首先要建立平面直角坐标系，那么我们该如何建系呢？
（让学生小组讨论，得出方案）
生：（预设学生可能提出的方案如下）
方案（一）
方案（二）
方案（三）
师：（进一步引导）请同学们猜想一下，上述三种建系方法中，哪一种建系方法下求得的抛物线方程最简单呢？
由教师引导学生，先以方案（三）为例，计算其建系方式下的抛物线标准方程。
由于点F与直线固定，因此我们已知焦点F到准线的距离，不妨设为p(p>0),接下来请大家按照求曲线方程的步骤得出方案（三）中抛物线的方程。
生：学生自己推到，得出结论：
方案（三）中抛物线的方程为：
师：（在ppt中展示按照方案三的建系方式推导抛物线方程的过程，让学生对照自己求得的结果，检验自己结果正确与否。）
接下来，请同学们小组讨论按照同样的步骤，求出方案（一）、（二）中相应抛物线的方程？（这一环节也可放在课后，让学生自行完成。）
生：学生经过小组讨论，推导得出结论：
方案一
方案二
方案三
【深入探索，完善体系】
师：从三个抛物线方程，我们不难看出方案三的建系方法求得的抛物线方程比较简洁，我们就把它叫做抛物线的标准方程
强调：抛物线标准方程的特点
p的几何意义：即焦点F到准线的距离；
焦点F的坐标：；准线的方程：；
抛物线开口方向：向右
（ppt展示，找学生根据图象填空）
师：由于平面内的定点F及定直线l的位置关系可以不同，因而画出的抛物线，其开口方向也就可能不同，相应的抛物线的标准方程也不同。
请同学们思考一下，抛物线的标准方程还有哪些形式？
生：（学生经过思考，可能会得出如下结果）
师：接下来请同学们仿照刚才的学习过程完成这样一个表格（ppt展示表格）
图形
焦点坐标
准线方程
标准方程
F
F
F
F
（接下来在教学中通过对上述表格中相应项的比较、归纳，能够让学生完善对抛物线标准方程的再认识，加深他们对抛物线形式及相应标准方程的理解）
师：根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图象、焦点坐标、准线方程的对应关系，如何判断抛物线的焦点位置，开口方向呢？
（ppt展示如下表格，找学生填空，从而引导学生发现规律）
（1）对于y2 = 2px与 y2 = 2px;
左边是 y的平方项 ，右边是 x的一次项 ；
一次项系数大于0时，焦点在 x轴的正半轴 ，开口 向右 ；
一次项系数小于0时，焦点在 x轴的负半轴 ，开口 向左 .
（2）对于x2 = 2py与 x2 = 2py.
左边是 x的平方项 ，右边是 y的一次项 ；
一次项系数大于0时，焦点在 Y轴的正半轴 ，开口向上；
一次项系数小于0时，焦点在 Y轴的负半轴 ，开口向下,
规律：（1）一次项某某，焦点就在相应的轴上，
（2）一次项系数为正时，焦点在正半轴，
一次项系数为负时，焦点在负半轴，
（3）一次项的正负决定了抛物线的开口方向。
【指导应用，巩固练习】
应用一、相关量的计算
例1.已知抛物线的方程，求焦点坐标和准线方程
（学生课堂练习，通过例1熟记焦点坐标、准线方程与抛物线方程的关系）
归纳：求抛物线准线方程和焦点坐标步骤
（1）先将方程化为标准形式
（2）定位（确定焦点及准线位置）
（3）定量（求出焦点坐标、准线方程）
思考：通过本节课的学习，同学们能否说明一下二次函数的图象为什么是抛物线吗？并指出它的焦点坐标、准线方程.
应用二、求抛物线标准方程
例2.求适合下列条件的抛物线的标准方程
焦点是F（3,0）；
准线方程是；
焦点到准线的距离为2；
点M与点F（2,0）的距离比它到直线x=-4的距离小2，求M的轨迹方程
辨析：（1）（2）（3）利用了“待定系数法”；（4）利用了“定义法”。
归纳：求抛物线方程时，先确定开口方向，再计算p值。即先定型，再定量。
例3.求过点A（-3,2）的抛物线的标准方程
解：当焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2 =2py，
得 ；
当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2 =-2px，
得 ，
∴抛物线的标准方程为或 .
辨析：在这一题目中，学生往往会丢解。出错的原因是在设标准方程时，学生由于思维定势，常常只考虑将抛物线标准方程设为y2=2px的形式，而忽视了其它可能性。这一错误在学生做题时较为常见，应给予指正，引起学生重视.
应用三、能力提升
例4.在抛物线y2=8x上求一点P，使P到焦点F的距离与到Q(4,1)的距离的和最小，并求出最小值.
【小结概括，深化认识】
让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：
1、抛物线的定义
2、抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程
3、求抛物线标准方程的方法
（1）定义法； （2）待定系数法
【布置作业】教材P67-练习1.3；P73-A组-4
【板书设计】
投影屏幕
XXXXX2.4.1 抛物线及其标准方程
一、抛物线的定义
二、抛物线的标准方程
三例题
四小结
六、教学反思
抛物线是学生接触到的第三种圆锥曲线，它相对于椭圆和双曲线而言要简单一些，但由于其开口有四个方向，所以使得抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程个数较多，形式又很接近，学生及易记混。我在设计这节课时，主要有两种思路：一种是放手让学生去推导后三种开口情况下的标准方程、焦点坐标和准线方程，让他们自己来找到记忆的规律。不过这样势必会占用很多时间，习题就练得不充分；另一种想法是让学生按照求曲线方程的步骤，推导出开口向右时抛物线的标准方程，其余三种情况直接给出结论，让学生按照同样的方法课后自行完成。这样便可有充分的时间处理习题，通过做题来强化学生对知识点的记忆。考虑到所教的两个班学生学习程度不同，在程度较好的班级采用了第二种方案，能力稍薄弱的班级采用了第一种方案，最后都达到了预期的教学效果，这使我深切地感受到因材施教的必要性。
同时，本堂课力求把学习的主动权交给学生，利用几何画板、Flash、PPT等多媒体手段创设情境，使学习内容直观、生动。此外，本堂课抛物线定义的产生及标准方程的导出等多个地方，都让学生主动参与、小组交流、自主探索得出相关结论，充分体现了数学的发现和创造过程，也从一定程度上培养了学生数学辩证思维的能力。
新课标强调教学要突出学生的主体作用，本节课的设计围绕“画法”（即：抛物线的产生）展开，从条件的熟悉，曲线的出现，参数的引入均与此相关，强调学生动手、动脑。同时，以画法为载体，使学生的探究活动贯穿本节课的始终。
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