2.2.1双曲线的定义与标准方程
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2.2.1双曲线的定义 与标准方程
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北京摩天大楼
法拉利主题公园
花瓶
1. 椭圆的定义
2. 引入问题：
复习
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
画板演示
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
上面 两条合起来叫做双曲线
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
问题1 类比椭圆的定义，你能给出
双曲线的定义吗？
双曲线图象
拉链画双曲线
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
（1）2a<2c ；
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于?F1F2?)的点的轨迹叫做双曲线.
（2）2a >0 ；
双曲线定义
||MF1|-|MF2||=2a ( 2a<2c)
注意
若2a = 0,则图形是什么?
问题2（1）:定义中为什么要强调差的绝对值？
双曲线右支
双曲线左支
问题2(2):定义中为什么这个常数要小于|F1F2|？ 如果不小于|F1F2 | ，轨迹是什么？
①若2a=2c,则轨迹是什么？
②若2a>2c,则轨迹是什么？
③若2a=0,则轨迹是什么？
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
问题4、类比求椭圆标准方程的方法，思考如何建立适当的坐标系求双曲线标准方程？
求曲线方程的步骤：
1.建系:
2.设点:
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式:
|MF1| - |MF2|=XXXXX2a
4.化简:
若建系时,焦点在y轴上呢?
问题3:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
总结经验
问题4:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何异同点?
F（XXXXXc，0）
F（XXXXXc，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
F（0，XXXXXc）
F（0，XXXXXc）
课堂练习：
1、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3)，动点P满足
|PF1| - |PF2|= 10，则P点的轨迹是( )
A、双曲线 B、双曲线一支
C、直线 D、一条射线
2、若椭圆 与双曲线
的焦点相同,则 a =
3
D
讨论：
当 取何值时，方程 表示椭圆，双曲线，圆 。
解：由各种方程的标准方程知，
例1 已知方程 表示双曲线，
求 的取值范围。
练习：已知方程 表示双
曲线， 求m的取值范围
例2、已知双曲线 上一点
P到
双曲线的左焦点的距离为16，则它到右焦点
的距离为 .
4或28
拓展延伸
.已知F1、F2为双曲线 的左，右焦点，直线L过F1 ，交双曲线左某某M, N两点，若|MN|= , 求△MF2N的周长.
7
m
变式训练
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上， ，
（2）焦点(0，－6),(0，6),经过点（2，－5）．
问题5：用待定系数法求标准方程的步骤是什么？
1、定位：确定焦点的位置；
2、设方程
3、定量：a,b,c的关系
焦点在x轴上:
焦点在y轴上:
例4 、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（1， ）、（ ），求双曲线的标准方程.
设双曲线方程为mx2+ny2＝1(mn＜0)，
则
解得 ∴所求方程为
拓展训练
求过点 且焦点在坐标轴上的
双曲线标准方程.
若已知双曲线上两点，通常设方程为mx2+ny2=1(mn<0),这种设法比设双曲线的标准方程计算更简便，也避免了讨论双曲线的焦点位置．
变式训练 相距2000m的两个哨所A、B，听到远处传来的炮弹的爆炸声。已知当时的声速是330m/s,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时迟4s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程。
拓展延伸
解: 在△ABC中,|BC|=10，
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为
(x<0)
例7、求与圆Ａ：
和圆Ｂ： 都外切的圆的圆心Ｐ的轨迹方程．
(x>0)
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