2.2.1 椭圆及其标准方程

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数学 何某某

第二章 圆锥曲线与方程

2.2.1　椭圆及其标准方程

教学目标

1.理解椭圆的定义

2.掌握椭圆的标准方程，及字母间的关系和意义

3.能根据已知条件求椭圆的标准方程，并初步体会数形结合的数学思想

引入课题：椭圆

知识点一：椭圆的定义

圆的画法：平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆.

如果把这一个定点分裂成两个定点，

会画出什么图形呢？

知识探究：椭圆的定义

1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置

是固定的还是运动的？

2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？

说明了什么？

3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离

大小有怎样的关系？

知识探究：椭圆的定义

椭圆是怎样定义的？

椭圆定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于某某

（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.

两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点.

两焦点之间的距离叫做焦距.

让我们来画一画

知识探究：椭圆的定义

(1)当常某某大于F1F2时

(2)当常某某等于F1F2时

(3)当常某某小于F1F2时

椭圆

线段

不存在

为何‘固定值’要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？

知识点二：椭圆的标准方程

根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？　　

求曲线的方程的基本步骤

(1)建系设点；

(2)写出点集；

(3)列出方程；

(4)化简方程；

(5)检验.

知识探究：椭圆的标准方程

(1)建系设点；

F1

F2

O

y

原则：一般利用对称性或已有的线段、点

建立坐标系(对称、“简洁”).

尽可能使方程的形式简单、运算简单.

x

椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)

则F1(?c,0)、F2(c,0)

P与F1和F2的距离的和

为2a(2a>2c)

知识探究：椭圆的标准方程

由椭圆的定义得：

由于

得方程

|PF1|+|PF2|=2a

?

?

移项、平方

?

化为

?

F1

F2

P(x , y)

O

y

x

知识探究：椭圆的标准方程

?

由椭圆定义可知2a>2c

整理得

两边再平方，得

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

即a＞c

∴a2-c2>0

设a2-c2=b2(b>0)

方程化为b2x2+a2y2=a2b2

思考：利用此推导过程，能得到焦点

在y轴上的椭圆的方程吗？

知识探究：椭圆的标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上

|PF1|+|PF2|=2a

F1(?c,0)、F2(c,0)

|PF1|+|PF2|=2a

F1(0,?c)、F2(0,c)

?

?

?

?

?

?

知识探究：椭圆的标准方程

分母哪个大，焦点就在哪个轴上

平面内到两个定点F1，F2的距离的和等

于某某（大于F1F2）的点的轨迹

标准方程

不 同 点

相 同 点

图 形

焦点坐标

定 义

a、b、c 的关系

焦点位置的判断

复习引入

分母哪个大，焦点就在哪个轴上

平面内到两个定点F1，F2的距离的和等

于某某（大于F1F2）的点的轨迹

标准方程

不 同 点

相 同 点

图 形

焦点坐标

定 义

a、b、c 的关系

焦点位置的判断

椭圆定义应用

②④

典例分析

【解析】

?

∵椭圆的焦点在x轴上

由椭圆的定义知

?

?

又c=2

∴b2=a2-c2=6

?

?

①定型②定量

典例分析

【另解】

∵椭圆的焦点在x轴上

?

由已知：c=2

则a2-b2=c2=4 ①

?

?

联立①②解得：a2=10，b2=6

?

例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程

例3

（2）

A.m>0 B.0<m<1 C.－2<m<1 D.m>1且m≠

?

例4. 已知点 和圆O1： 点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．

1、已知△ABC的顶点B,C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）

A、 B、6 C、 D、12

2．椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是(　　)

A. B．(0，XXXXX1) C．(XXXXX1,0) D.

3.“1<m<3”是“方程 表示椭圆”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

跟踪训练1.

已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长

等于16，求顶点A的轨迹方程．

解：以BC所在直线为x轴，

线段BC的中垂线为y轴,建立坐标系

由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，

有|AB|＋|AC|＝10> |BC|＝6 ，

?

跟踪训练

1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；

?

3.若椭圆满足: a＝5 , c＝3 ,求它的标准方程.

?

?

?

当堂训练

?

(0,4)

当堂训练

?

A

?

D

当堂训练

已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，

则△ABC的顶点C的轨迹方程是(　　)

?

D

当堂训练

归纳小结

求椭圆标准方程的方法

求美意识， 求简意识，前瞻意识

?

?

归纳小结

求轨迹方程的方法有多种:

定义法、直接法、代入法、相关点坐标分析法等.

具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤去展开

过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝试.

通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的几何条件

有多种, 这些条件能让我们开拓眼见.

再见[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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