指数函数的图象及其性质

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指数函数的图象及其性质

一、教学目标

1理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象，能应用所学知识解决简单的数学问题；

2让学生在数学活动中感受数学思想方法之美，体会其重要性。

3培养学生主动学习、合作交流的意识。

二、教学重点与难点

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

三、教学过程：

（一）创设情景、提出问题

师：如果让1号同学准备2粒黄豆，2号同学准备4粒黄豆，3号同学准备6粒黄豆，5号同学准备10粒黄豆，XXXXXXXXXX按这样的规律，51号同学该准备多少黄豆？

学生回答后教师公布结果：51号同学该准备102粒黄豆。

师：如果改成让1号同学准备2粒黄豆，2号同学准备4粒黄豆，3号同学准备8粒黄豆，4号同学准备16粒黄豆，XXXXXXXXXX按这样的规律，51号同学该准备多少黄豆？

在以上两个问题中，每位同学所需准备的黄豆数用
表示，每位同学的座号数用
表示，
与
之间的关系分别是什么？

学生很容易得出y=2x（

）和
（

）

（二）师生互动、探究新知

1．指数函数的定义

师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与
类似的关系式
（
）

（1）让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：

①
（

）和
（
）这两个解析式有什么共同特征？

②它们能否构成函数？

③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

师：如果可以用字母
代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成
的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。

（2）让学生讨论并给出指数函数的定义。

对于底数的分类，可将问题分解为：

①若
会有什么问题？（如
，
则在实数范围内相应的函数值不存在）

②若/会有什么问题？（对于
，
都无意义）

③若 /又会怎么样？（/无论 /取何值,它总是1,对它没有研究的必要.）

师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定 /且 /.

接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如
，
，
。

2．指数函数性质

（1）提出两个问题

①目前研究函数一般可以包括哪些方面：

函数三要素（对应法则，定义域，值域）函数的基本性质（单调性，奇偶性）

②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？

可以从图象和解析式，具体的函数入手（即底数取一些数值），当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。

（2）分组活动，合作学习

师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。

①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手（不画图）研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；

②每一大组再分为若干合作小组（4人一小组）；

③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。

⑶交流、总结

选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。

教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。

师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些其他结论？（如过定点（0，1），
与
的图象关于y轴对称）

师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。

教师通过几何画板中改变参数
的值追踪
的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。

师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。

图

象







定义域

R



值 域

 /



性

质

过定点（0，1）





非奇非偶





在R上是减函数

在R上是增函数



（三）巩固训练

1．例：已知指数函数f(x)=
(a>0且a≠1)的图象经过点
，求
的值。

解：因为
的图象经过点
，所以

即
，解得
，于是
。

所以

师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了。

2．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？

3．作业：⑴在同一平面直角坐标系中画出
和的大致图象，并说出这两个函数的性质；

⑵求下列函数的定义域：①
，②
。

教学反思：

本节是指数函数及其性质概念课，在教学设计中，我注重以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。抓住学生的好奇心，将娱乐“计算黄豆粒”与数学有机地结合在一起，提高了学生学习本节知识的兴趣。在观察“准备黄豆粒”得到
和章开头
（
）函数关系式后，我巧妙引导学生从具体问题中抽象出数学模型
，发现指数在变化，这与以前所学函数（一次函数、二次函数、反比例函数）都不一样，把变化的量用
表示，不变的量用a表示；通过让学生给函数命名，举几个指数函数例子这个小环节，增强学生对指数函数本质的理解，激发学生求知欲和好奇心，概念的得到可谓“润物细无声”。接着，我在设计中还注重对学生探索能力的培养，让学生类比一次函数、反比例函数、二次函数中的限制条件，给出指数函数的定义及底数
的取值范围。

在研究指数函数的性质时，我尽量紧扣第一章的函数知识，让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。通过提问的方法，让学生明白研究函数可以从图象和解析式这两个不同的角度进行出发，将学生的注意力引向本节的第二个知识点——图象及其性质。设计中将学生进行分组，通过学生的自主探究、合作学习，侧重对解析式、作图象探索。学生的上台报告，我借助几何画板的直观图形，数形结合的数学方法，收到了较好的研究效果。

本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到指数函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，真正做到“授学生之以渔”而非“授学生之以鱼”。

教学中借助信息技术可以弥补传统教学不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。

在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美，体会其重要性，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。

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