课堂实录（任意角的三角函数的定义）

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三角

三角

三角

三角

5.2.1 任意角的三角函数的定义

*_**职业技术学校 史某某

初中锐角三角函数定义(正弦，余弦，正切)

思考 角的范围已经推广，那么我们如何定义

任意角 ? 的三角函数呢？

复习

任意角三角函数的定义

已知 ? 是任意角，P(x，y)，P' (x'，y')是角 ? 的终边与两个半径不同的同心圆的交点，

则由相似三角形对应边成比例得

由于点 P，P? 在同一象限内，

所以它们的坐标符号相同，因此得

新授

所以当角 ? 不变时，不论点 P 在角 ? 的终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只依赖于 ? 的大小，与点 P 在 角 ? 终边上的位置无关.

新授

设角? 的终边上的任意一点P（x，y），点 P 到原点的距离为 r.

于是我们有如下定义：

新授

依照上述定义，对于每一个确定的角 ? ，都分别有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应关系都是以角 ? 为自变量的函数，分别称作角 ? 的余弦函数、正弦函数和正切函数．

新授

计算三角函数值的步骤：

S1 画角 在直角坐标系中，作转角 ? ；

S2 找点 在角的终边上任找一点P，使 ? OP ?＝1，

并量出该点的纵坐标和横坐标；

S3 求值 根据三角函数定义，求出角 ? 的三角函数值．

三角函数求值

新授

例 1 已知角 ? 终边经过点 P（2，-3）如图，

求角? 的三个三角函数值．

解 已知点 P（2， -3），则

例题讲解

例 2 试确定三角函数在各象限的符号．

解 由三角函数的定义可知，

例题讲解

记忆口诀：Ⅰ全某某，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦

三角函数在各象限的符号如下图所示：

新授

(2) 因为 130? 是第二象限角，

所以 cos 130? ＜0.

练习1 确定下列各三角函数值的符号：

例题讲解

例题讲解

1. 以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆.

2. 如图，角 ? 的终边与单位圆交于点P，

则根据三角函数定义可知，点 P 的坐标 x， y 分别为

cos ? 和 sin ? ，即 P( cos ?, sin ? ).

由于 cos ? ＝ x ＝ OM；

sin ? ＝ y ＝ MP，

于是我们把规定了方向的线段

OM 称作角?的余某某，

MP 称作角?的正弦线 .

单位圆与三角函数线

(cos ? , sin ? )

新授

练习 2（1） 在单位圆中作出下列各角的正弦线、余某某 ．

（1） 　 ； （2） 　　 ．

M

M

新授

如何画正切线？

A

T

T'

所以 AT ( AT ' ) 称作角 ? 的正切线 ．

新授

附注

通过单位圆研究三角函数的几何演示过程可在主界面单击“单位圆研究三角函数.gsp”文件观看.

M

M

A

A

新授

本节课所学知识点：

1．任意角三角函数的定义（代数表示）．

2．任意角三角函数值的求法（两种方法）．

3．任意角三角函数值的符号（记住口诀）．

4．任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．

归纳小结

课后作业

教材P138，练习 A 组，练习B 组．

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