余弦定理

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XXXXX1.1.2 余弦定理

第一章 解三角形

主讲人：岳某某

目标定位

【学习目标】

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题．

【重、难点】

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.

学习目标和重难点

知识链接

1. 三角形全等的判定条件有哪些？

2. 为什么“角角边”与“角边角”都能证明三角形全等，而

“边某某”不能？

答：角角边，角边角，边某某，边某某.

答：“角角边”与“角边角”是“两角任一边”的题型，它们的解是唯一的，因而可以作为三角形全等的判定条件；

“边某某”即“两边一对角”的题型，这种题型可能有两组解，即它不能唯一确定三角形，因而不是三角形全等的判定条件.

自主探究

（一）要点识记

?

平方

平方的和

余弦

余弦定理的推论：

?

自主探究

答： ① 若已知三角形的两条边及其夹角，可求第三条边，该题型简记为“两边一夹角”．

② 若已知三角形的三条边，可求任意一个角，

该题型简记为“三边都已知”．

（二）深层探究

1. 余弦定理可以解决哪几种解三角形的问题？

自主探究

?

（二）深层探究

?

自主探究

分析：由于涉及边长问题，可以考虑“坐标法（解析法）”和“三角法（主要指相似、全等和勾股定理）”.

（三）拓展探究

1. 教材中用_______法证明了余弦定理，你还有其它证明方法吗？

向量法

自主探究

（三）拓展探究

?

?

自主探究

（二）余弦定理的其他证法

?

自主探究

（三）拓展探究

问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？

?

自主探究

（三）深层探究

(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三

边 所对的角是锐角；

(2) 如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三

边所对的角是钝角；

如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三

边所对的角是直角.

因而余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

自主探究

（三）深层探究

3. 你能用余弦定理解释为什么“边某某”与“边某某”可以判定三角形全等吗？

答：“边某某”是解三角形中的“两边一夹角”的题型，“边某某”则是“三边已知”的题型，这两种题型的解都是唯一的，即它们都能唯一确定三角形，因而可以为判定三角形全等的条件.

典例突破

（一）“两边一夹角”型三角形

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?

典例突破

（一）“两边一夹角”型三角形

?

典例突破

（一）“两边一夹角”型三角形

?

典例突破

（一）“两边一夹角”型三角形

【解题反思】在已知三边和一角的情况下，求解另一角既可以应用“余弦定理的推论”，也可以应用“正弦定理”. 二者的区别是什么？

答：① 若应用“余弦定理的推论”，虽可根据“所求角”的余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算复杂.

② 若应用“正弦定理”，则需先现根据边的大小确定角的大小.

所以，通常采取“选择正弦定理去计算较小的边所对的角，既简便，又避免了进一步的讨论”.

典例突破

（二）“三边都已知”型三角形

?

?

典例突破

（二）“三边都已知”型三角形

?

?

典例突破

（三）判断三角形形状

?

?

钝角三角形

典例突破

（三）判断三角形形状

【解题反思】如何用余弦定理判定三角形形状？

答：用余弦定理判定三角形形状，只需求出最大边所对角的余弦值即可.

典例突破

（三）判断三角形形状

?

?

作业：

课后练习1-5题[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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