教学设计字丽菊

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《正弦定理》教学设计

字丽菊

一、 教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。

二、教学目标

根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：

知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。

三、教学重难点

教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

四、教法分析

依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。

五、教学过程

本节课采用“发现学习”的模式，因而教学过程实施分为五个部分：

(1)结合实例提出问题

(2)观察特例提出猜想

(3)数学实验深入探究

(4)证明猜想得出定理

(5)运用定理解决问题

1)结合实例提出问题

教学过程

设计意图



设置问题情境

我先提出问题：

工人师傅的一个三角形模型坏了，只剩下如图所示的部分，
，AB的长为1m，但他不知道AC和BC的长是多少而无法去截料，你能告诉师傅这两边的长度吗？

激发学生的学习兴趣. 兴趣是最好的老师。如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半



学生自主探讨

可能很多学生会这样考虑：在△ABC中，已知两角及一边，求其余的边，

构造Rt△

挖掘学生的原有认知，在原有知识和学习目标之间搭建平台.



教师提问

有没有根据已提供的数据，直接一步就能解出来的方法？

思考：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。那我们能不能得到关于边、角关系准确量化的表示呢？

实际问题要考虑实际情况，锻炼学生的发散思维，培养学生解决实际问题的能力.



师生共同探讨

（教师提示）把这个实际问题抽象为数学模型——那就是“已知三角形中的两角及夹边，求另外两边的长”本题的思路是：“把一般三角形转化为直角三角形”，也就是要“作高”。

学生：如图，过点A作BC边上的高,垂直记作D







首先利用题目中的已知数据求出角C的大小,接着把题目中的相关数据和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函数知识可分别求出CD和BD的长度，把所求出的CD和BD的长度相加即可求出BC的长度。

通过师生互动、生生互动的教学活动过程，体现教师的主导作用，形成学生的体验性认识.



教师提问

教师指出，人们在实际中，如测量、航海、机械设计、几何、物理等方面，经常碰到有关三角形的问题，在解决这些问题时，如果每次都通过构造直角三角形来求解，显然有点麻烦！

接着提问学生：在任意三角形中，各边、角之间是否存在某种数量关系呢？若有，那么我们就可以直接利用，快速求解。

寻求解决问题的简便方法，符合人们的思维规律，同时也指出本节课的探究方向.



(2)观察特例提出猜想

教学过程

设计意图



师生共同观察特例



①在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系？

②学生容易想到三角函数式子：（可能还有余弦、正切的式子）

③这三个式子中都含有哪个边某某？

学生马上看到，是c边，因为

④那么通过这三个式子，边某某c有几种表示方法？

⑤得到的这个等式，说明了在Rt△中，各边、角之间存在什么关系？

（各边和它所对角的正弦的比相等）

⑥此关系式能不能推广到任意三角形？

以旧引新, 打破学生原有认知结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展. 从直角三角形边角关系切入, 符合从特殊到一般的思维过程.



提出猜想



猜想：在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即：

鼓励学生大胆拓广, 主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.





(3)数学实验深入探究

教学过程

设计意图



学生自己进行数学实验

让学生用几何画板进行数学实验：

改变三角形的某个顶点的位置（即改变了三角形的形状），观察表格中的数据的数值大小变化情况.

观察发现：在拖动三角形的某个顶点的过程中，表格中的数据的数值大小也随着变化，但是它们始终保持相等.

给学生探索的空间，使学生真正感觉到自己在“做数学”，激起学生的好奇心和探究欲望, 调动学生自主参与数学活动，使学生体会到数学系统演绎性和实验归纳性的两个侧面.



归纳总结

通过实验后，猜想成立，即有下面的结论：

在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即：

让学生明确到：某些规律对部分特例成立，但是对一般情况不成立.





(4) 证明猜想得出定理

教学过程

设计意图



师生总结

 三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，对于直角三角形，我们前面已经推导出这个关系式是成立的，那么我们现在是否需要分情况来证明此关系式？

及时总结，使方向更明确，并培养学生的分类意识.



交流研讨辨析

①教师启发：刚才在直角三角形中已经证明了,

那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？

——可以构造直角三角形

②如何构造直角三角形？

——作高线（例如：作CD⊥AB，则出现两个直角三角形）

③将欲证的连等式分成两个等式证明，若先证明 ，

那么如何将A、B、a、b联系起来？

——在两个直角三角形Rt△BCD与Rt△ACD中，CD是公共边：

在Rt△BCD中，CD= ， 在Rt△ACD中，CD=

④如何证明 ？

——作高线AE⊥BC，同理可证.

把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题.

学生在合作交流、与人分享的探讨的氛围中倾听、思考、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人；提高分析能力.



课外探究



若△ABC为钝角三角形，证明：

探究的空间由课堂延伸到课外.



师生共同总结

回顾我们刚才证明正弦定理的过程，

①用了什么证明方法？

②分别是如何证明正弦定理的？

——几何法：作三角形的高线，构造直角三角形

解题后适时反思总结，理清思维，加深理解和认识，可提高解题的理论水平



(5) 运用定理解决问题

教学过程

设计意图



定理明晰

①正弦定理如何表述？

——在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

②表达式反映了什么？

——指出了任意三角形中，各边与对应角的正弦之间的一个关系式

从形式和内容进一步让学生明确正弦定理所反映出的规律



解决情境中的实例



题目：在△ABC中，已知C＝48.57o ， A＝101.87o ， AC＝2620m，

求AB.(精确到1米)

解：B＝180o－A－C＝ 180o－ 48.57o －101.87o ＝29.56o

让学生用正弦定理重新解题，感觉比原来的方法简便多了,使学生认为艰辛的付出有了回报,感受收获的喜悦,体验成功的乐趣.



定理反思总结

①我们刚才已经用正弦定理解决三角形中的一类什么问题？

——已知任意两个角和一边，可以求出另一角和另两边

②用正弦定理还可以解决三角形中的什么问题？

——已知两边和其中一边的对角，可以求出另一边和另两角

通过总结与思考，领悟思想方法，把握规律的本质，提高分析和解决问题的能力.



课堂练习

课本第5页练习：1.（2）， 2.（2）

充分利用课本资源；简单应用正弦定理.





课后作业

(1)课后探究：

①类比Rt△ABC中的式子

猜想在任意三角形ABC中，比值

并证明你的结论.

②在△ABC中，求证

教材第10页，习题1.1，A组第一题、第二题。



“课后习题”让学生探讨解的个数问题，为下节课作准备.





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