24.1.2垂直于某某的直径lujun
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24.1.2垂直于某某的直径
学习目标
1．理解圆的对称性．
2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于某某的直径的性质．
3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．
2．垂径定理：垂直于某某的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即
自主学习
自主学习教材内容，了解垂径定理及其推论。然后完成以下习题。
折一折：
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
学习导入
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
自学引导
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
XXXXX
O
A
B
C
D
E
再引导
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
垂直于某某的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｛
（1）过圆心
（2）垂直于某某
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
几何语言表达
垂径定理：
想一想：1、下列图形是否可以使用垂径定理？为什么？
拓展延伸
用一用
【点拨】 (1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．
(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．
1、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
2、 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
图1
图2
例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
一
总结： 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于某某的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
方法总结
如果把垂径定理（垂直于某某的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于某某； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索：
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
证明猜想：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
XXXXX
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
证明举例：
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90XXXXX，
∴CD⊥AB.
平分弦（不是直径）的直径垂直于某某,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
几何语言：
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
猜想：
任意两个作为条件都可以得出另外三个。
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
解得：R≈27．9（m）
O .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
OA2=AD2+OD2
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
在图中
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高
(弧的中点到弦的距离)为7.2m，
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
巩固练习
自学反馈
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
2cm或12cm
基础铺垫
学会作辅助线
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于某某的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
Ramming foundation
C
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
XXXXX
O
A
B
E
当堂检测
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt △ AOE 中
连接半径OA，作OE垂直于AB于点E
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
1、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
E
1．本节课你有什么收获？
课堂小结
2、垂径定理及其推论
3．常用的辅助线(连接半径或作弦心距)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于某某; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于某某的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
作业
2．⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长为 ，最长弦的长为 ．B组
3．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．A组
1．在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．（C组）
要作图和辅助线2分，写出过程3分其他酌情加2分
1．在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
XXXXX
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt △ AOE 中
如图；连接半径OA，作OE垂直于AB于点E
B组⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长为 8 ，最长弦的长为 10 ．
【点拨】 过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．
图1
如图1，最长的弦为过点P的直径AB，由题意得AB=10
A
B
如图2，最短的弦为过点P且与直径AB垂直得弦CD，连接OC！由垂径定理得CP=PD。则在直角三角形COP中，
A
B
C
D
┒
图2
CD=8
A
B
A
B
C
D
C
D
E
F
E
F
O
O
┒
┒
┒
┒
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
赵州桥主桥拱的半径是多少？
学习导入
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
平分弦 (不是直径) 的直径垂直于某某,并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
直径平分弦
(不是直径)
（ 1 ）直径垂直于某某
（ 2 ）直径平分弦所对的弧
｛
②CD⊥AB（AB不是直径）,
由 ① CD是直径
③ AE=BE
几何语言表达
推论：
1.在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为.
2.在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为.
3.⊙O的半径OA=5 cm，弦AB=8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为.
4.⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长是，最长弦的长为
自主学习
8 cm
3 cm
3 cm
8
10
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