等腰三角形的性质--陈某某
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13.3 等腰三角形
第十三章 轴对称
优 翼 课 件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学练优八年级数学上（RJ）
教学课件
第1课时 等腰三角形的性质
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
导入新课
等腰三角形
情境引入
定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
底边
讲授新课
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
互动探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C.
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
A
B
C
D
猜想与验证
已知：△ABC 中，AB=AC .
求证：∠B=∠C.
应用格式：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），
∴ ∠B＝∠C.
证法3：
证明：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90XXXXX.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
典例精析
解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠BDC与∠C、∠ABC呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A,
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 XXXXX
∴x+2x+2x=180 XXXXX,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于某某△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 XXXXX ，
解得x=36 XXXXX .
∴∠A=36XXXXX，∠ABC=∠C=72XXXXX.
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26XXXXX，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26XXXXX+x=180XXXXX，
解得x=38.5XXXXX.
∴ ∠C= x=38.5XXXXX， ∠B=2x=77XXXXX.
针对训练：
例2 等腰三角形的一个内角是50XXXXX，则这个三角形的底角的大小是( )
A．65XXXXX或50XXXXX B．80XXXXX或40XXXXX
C．65XXXXX或80XXXXX D．50XXXXX或80XXXXX
解析：当50XXXXX的角是底角时，三角形的底角就是50XXXXX；当50XXXXX的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65XXXXX.故选A.
A
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?
想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC
=90XXXXX
性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）.
填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空.
在△ABC中， AB=AC时，
（1）∵AD⊥BC,
∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
1
2
2
BD
CD
AD
BC
BD
1
BC
AD
CD
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
为什么不一样?
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
明辨是非
（√）
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
典例精析
证明：(1)如图①，过A作
AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
G
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
当堂练习
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70XXXXX，则∠BAC的大小为（ ）
A．40XXXXX B．30XXXXX C．70XXXXX D．50XXXXX
A
1.等腰三角形有一个角是90XXXXX，则另两个角分别是（ ）
A．30XXXXX，60XXXXX B．45XXXXX，45XXXXX
C．45XXXXX，90XXXXX D．20XXXXX，70XXXXX
B
3.(1)等腰三角形一个底角为75XXXXX,它的另外两个角为____ __；
(2)等腰三角形一个角为36XXXXX,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120XXXXX,它的另外两个角为_ ___ __.
75XXXXX, 30XXXXX
72XXXXX,72XXXXX或36XXXXX,108XXXXX
30XXXXX，30XXXXX
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50XXXXX，则底角的大小为___________．
70XXXXX或20XXXXX
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，
∠B = 30XXXXX，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴ ∠C= ∠ B=30XXXXX，
∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90XXXXX.
∴∠ BAC =180XXXXX - 30XXXXX-30XXXXX = 120XXXXX.
6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴
7.A、B是4XXXXX4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！
8个
这样分类就不会漏啦！
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
拓展提升：
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
见《学练优》本课时练习
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