全等三角形例题知识点精讲与解题思路方法归纳
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全等三角形例题知识点精讲
与解题思路方法归纳
一、全等三角形的性质和判定
1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：
已知条件
可选择判定方法
寻找条件
两边对应相等(SS)
SSS或SAS
第三边或两边的夹角对应相等
一边及其邻角对应相等(SA)
SAS、ASA
已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等
一边及其对角对应相等(SA)
AAS
另一个角对应相等
两角对应相等(AA)
ASA、AAS
两角的夹边或其中一角的对边对应相等
3．直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
类型一 全等三角形的性质与判定
【例题1】（2011?泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90XXXXX，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于某某CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于某某CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
〖选题意图〗本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．
〖解题思路〗（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90XXXXX，可得出∠ACD=∠BCD=45XXXXX，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90XXXXX，∠BEC+∠MCH=90XXXXX，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45XXXXX，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
〖参考答案〗解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90XXXXX，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45XXXXX，
∴∠CAD=∠CBD=45XXXXX，
∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90XXXXX，又∠ACE+∠BCF=90XXXXX，
∴∠ACE=∠CBG，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE=CG，
（2）BE=CM，
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90XXXXX，∠BEC+∠MCH=90XXXXX，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45XXXXX，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE=CM．
【课堂训练题】
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90XXXXX，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45XXXXX的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
〖参考答案〗数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90XXXXX，且有一个锐角是45XXXXX，
∴∠EAD=∠EDA=45XXXXX，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90XXXXX，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90XXXXX+45XXXXX=135XXXXX，
∠EDC=∠ADC㧟∠EDA=180XXXXX㧟45XXXXX=135XXXXX，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∴△EAB≌△EDC，
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90XXXXX，
∴BE⊥EC．
2．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90XXXXX，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．
〖参考答案〗解：猜测AE=BD，AE⊥BD；
理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=90XXXXX，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；
∵∠AFC=∠DFH，又∠FAC+∠AFC=90XXXXX，
∴∠DHF=∠ACD=90XXXXX，
∴AE⊥BD．
故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．
类型二 直角三角形全等的性质与判定
【例题2】课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60XXXXX，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
〖选题意图〗本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．
〖解题思路〗（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90XXXXX，又因为∠DAC=∠BAC=30XXXXX，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC，那么AD+AB=AC．
（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．
〖参考答案〗证明：（1）∠B=∠D=90XXXXX，
∠CAD=∠CAB=30XXXXX，
∴AB=AC，AD=．
∴AB+AD=．
（2）由（1）知，AE+AF=AC，
∵AC为角平分线，CF⊥CD，CE⊥AB，
∴CE=CF．
而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D=∠CBE．
∴Rt△CDF≌Rt△CBE．
∴DF=BE．
∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=AC．
【课堂训练题】
1．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．
〖参考答案〗解：∵△ADC和△BDE是等腰三角形且AD⊥BC
∴△ADC和△BDE均为等腰直角三角形
∴AD=DC，BD=ED
∴Rt△ADB≌Rt△CDE（HL）
∴AB=CE=5cm
2． CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠XXXXX．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90XXXXX，∠XXXXX=90XXXXX，
则BE CF；EF |BE㧟AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0XXXXX＜∠BCA＜180XXXXX，请添加一个关于∠XXXXX与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠XXXXX=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
〖参考答案〗解：（1）①∵∠BCA=90XXXXX，∠XXXXX=90XXXXX，
∴∠BCE+∠CBE=90XXXXX，∠BCE+∠ACF=90XXXXX，
∴∠CBE=∠ACF，
∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE=CF；EF=|BE㧟AF|．
②所填的条件是：∠XXXXX+∠BCA=180XXXXX．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180XXXXX㧟∠BEC=180XXXXX㧟∠XXXXX．
∵∠BCA=180XXXXX㧟∠XXXXX，
∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，
∴∠CBE=∠ACF，
又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF㧟CE，
∴EF=|BE㧟AF|．
（2）EF=BE+AF．
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