二次函数最值问题课件

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二次函数最值问题

授课教师: 万 敏

利用抛物线轴对称性求三角形周长最小值,利用二次函数性质求面积最大值

考点

例1:

如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

分析:

(1)把A(1,0),B(4,3)代入得到关于a,b的二元一次方程组,求出a,b的值,确定抛物线的解析式.

(2)根据轴对称的性质,因为点A与点B关于抛物线的轴对称对称,所以抛物线的对称轴与直线AC的交点就是所求的点D.

(3)在直线AC的下方且在抛物线上找到一点E,设出点E的坐标为(x, ),列出三角形ACE的最大面积S与x的函数解析式，根据函数的性质求出三角形ACE的最大面积及x的值,最后确定点E的坐标.

解:1)把A(1,0),C(4,3)代入 ，得 解得： 所以抛物线解析式为

2）由（1）中 ，知抛物线的对称轴是直线

又因为点A和点B关于直线 对称，如图，设直线AC与直线 交于点D，根据轴对称的性质和两点之间线段最短的性质知点D即为所求，设直线l的解析式为 ,A(1,0),C(4,3) 代入，得 解得

所以直线l的解析式为 ， 时， 所以点D的坐标为（2，1）

（3）因为点E在抛物线上，所以设E点坐标为（ , ），如图，过E点作X轴垂线，交AC于点F，交X轴于点G，过C作CH┴EF，垂足为H，

因为点F在直线 上，所以F点的坐标为（ , ），

, , △ACE= △AEF+ △ EFC= EFXXXXXAG+ EFXXXXXCH= EF=(AG+CH)= ( XXXXX3=

因为 <0，所以当 时，三角形面积有最大值，最大值为 。此时点的坐标为（ ， ）

当

方法归纳：

1）用待定系数法确定函数的解析式时，首先设出包含待定系数的函数解析式，根据已知条件列出关于待定系数的方程（组），从而确定函数解析式。

2）求一直线同侧的两线段的和的最小值问题，一般利用对称的性质转化为三点共线问题进行解决。

3)求实际问题中的最大或最小值时，一般应先列出所求问题的函数解析式，再根据函数的性质进行求解。

变式训练:如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D，E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G。（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积。[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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