线段的垂直平分线的性质

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线段的垂直平分线的性质（1）

创设情境，温故知新

1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？

2.你能找出线段的对称轴吗？

3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？

线段

对称轴

你能不能验证这一结论吗？

探索并证明线段垂直平分线的性质

　　如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，XXXXX是

l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，XXXXX 到点A 与点B 的距

离之间的数量关系．

猜想：线段垂直平分线上的点与这条

线段两个端点的距离相等．

　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点

P 在l 上．

求证：PA =PB．

　　证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距

离相等．”

证明：∵直线l⊥AB

∴∠PCA=∠PCB

在△PCA和△PCB中

AC=BC

∠PCA=∠PCB

PC=PC

∴△PCA≌△PCB（SAS）

∴PA =PB

几何符号语言表示为：

∵ CA =CB，l⊥AB，

∴ PA =PB．

　　归纳：线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

应用新知，解决问题

例1：如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7 cm，那ED=___cm，如果∠ECD＝60XXXXX，那么∠EDC＝___.

60XXXXX

7

探索并证明线段垂直平分线的判定

　　反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的

垂直平分线上呢？

　　点P 在线段AB 的垂直平分线上．

　　已知：如图，PA =PB．

　　求证：点P 在线段AB 的垂直平

分线上．

C

提示：等腰三角形三线合一

证法一：过点P做已知线段AB的垂线PC（HL）

证法二：取AB的中点C,过P,C作直线(SSS)

证法三：过点P做∠APB的平分线(SAS)

　 几何数学符号表示为：

∵　PA =PB，

∴　点P 在AB 的垂直平分线上．

　线段垂直平分线的判定

　与一条线段两个端点距离相

等的点，在这条线段的垂直平分

线上．

　　这些点能组成什么几何图形？

　　你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？

能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？

　　在线段AB 的垂直平分线l 上的

点与A，B 的距离都相等；反过来，

与A，B 的距离相等的点都在直线l

上，所以直线l 可以看成与两点A、

B 的距离相等的所有点的集合．

l

例2 如图，OP平分∠COD，PA⊥OC于

点A，PB⊥OD于点B，连接AB，

求证：OP垂直平分线段AB

应用新知，解决问题

证明：∵OP平分∠COD PA⊥OC PB⊥OD

∴∠COP=∠DOP ∠PAO=PBO=90XXXXX 在△AOP和△BOP中

∠COP=∠DOP

∠PAO=∠PBO

PO=PO

∴△PCA≌△PCB（ASA）∴PA=PB OA=OB

∴点O,P 在AB 的垂直平分线上

即证明OP垂直平分线段AB

　　解：∵　AD⊥BC，BD =DC，

∴　AD 是BC 的垂直平分线，

∴　AB =AC．

∵　点C 在AE 的垂直平

分线上，

∴　AC =CE．

　　如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的

垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？

AB+BD与DE 有什么关系？

　　 ∴　AB =AC =CE．

∵　AB =CE，BD =DC，

∴　AB +BD =CD +CE．

即　AB +BD =DE ．

当堂训练，巩固学习

线段的垂直平分线的性质

PD=PE

点P 在AB 的垂直平分线上

线段的垂直平分线的判定

归纳、比较

C

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