高三第一轮复习正弦定理和余弦定理教学设计

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高三第一轮复习正弦定理和余弦定理教学设计

[考纲展示]　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．　2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.

考点1正线定理和余弦定理

考点2　在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况

考点3　三角形中常用的面积公式

1．S＝ah(h表示边a上的高)．

2．S＝bcsin A＝__________________

3．S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)

[常见结论]

在△ABC中，常有以下结论：

(1)∠A＋∠B＋∠C＝XXXXX.

(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.

(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan AXXXXXtan BXXXXXtan C.

(6)∠A>∠B?a>b?sin A>sin B?cos A<cos B.

[典题1]　（利用正、余弦定理解三角形）

(1)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则＝(　　)

A．2 B．3 C. D.

(2)如图，已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120XXXXX.

①若c＝1，求△ABC面积的最大值；

②若a＝2b，求tan A.

[点评]　

1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

2．三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

[练习1]

如图，在△ABC中，∠ABC＝90XXXXX，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90XXXXX.

(1)若PB＝，求PA；

(2)若∠APB＝150XXXXX，求tan ∠PBA.

[典题2]　（利用正弦、余弦定理判定三角形的形状）

(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰或者直角三角形

(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

[题点发散1]　若将本例条件改为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是(　　)

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

[题点发散2]　若将本例条件改为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，确定△ABC的形状．

[题点发散3]　若将本例条件改为：“2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，且sin B＋sin C＝1”，试判断△ABC的形状．

[点评]　1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

2．判断三角形形状主要有以下两种途径：

(1)通过正弦定理和余弦定理，化边某某，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；

(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．

[训练2]

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足b＝c，＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝XXXXX(0<XXXXX<XXXXX)，OA＝2，OB＝1，则四边形OACB面积的最大值是(　B　)

A. B.

C．3 D.

小结与回顾

作业布置

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