*_**李某某《正弦定理》教学设计

以下为《*_**李某某《正弦定理》教学设计》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。

《正弦定理》教学设计

*_**学 数学组 李某某

应用创新点：

1、从实际生活和其他学科知识引入新课。将数学学科与其它学科，与实际生活密切联系在一起，体现数学的实际应用价值和意义，体现数学来源于生活，高于生活，又服务于生活。

2、尊重学生的自主思考和创造能力，给予学生充分的思考，探讨，交流和思维的碰撞，主张在数学课堂上由学生交流、展示，发言、构思。无论在定理证明和应用环节，都充分尊重学生的创造力和解决问题的能力。

3、体现教师的引导作用。在定理证明和例题解题探究过程中，当学生遇到困难，教师也要充分发挥教师的引导作用，积极引导学生学会利用已知知识来推导证明新知识。

一、教材分析

正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）已知两角和一边，解三角形；

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。?????????? ?????

二、学情分析??

本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标：

1.知识与技能：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

2.过程与方法：引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜想，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

四、教学重点与难点：

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：①正弦定理的证明；

②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。

五、学法与教法

学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，

接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖，培养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。

教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式

（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

（2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。

（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

（4）巩固练习——深化对正弦定理的理解。?

六、教学过程

创设问题情境：

1、如何测量珠穆朗玛峰的高度、马里亚纳海沟的深度，以及地球和月球之间的距离。

2、一人站在龙湖岸边A处，发现湖心亭B处有一个人，问：如何借助测角仪和皮尺，求出A、B两点间的距离？如图，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出两点间A、C的距离50m，∠ACB=450，∠BAC=300求A、B两点间的距离。



引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法．

启发学生发现问题实质是：已知△ABC中∠A、∠C和AC长度，求AB距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边．

新知探究

提出问题：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们是否能得到这个边、角关系的准确量化的表示呢？

设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。

2.解决问题：

回忆直角三角形中的边角关系：

根据正弦函数的定义有：

，sinC=1。

经过学生思考、交流、讨论得出：

，

问题1：这个结论在任意三角形中还成立吗？

在等边三角形和等腰三角形（
）上述结论成立.因此猜想成立。如何证明呢？

数学史：梅文鼎为清初著名的天文、数学家，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，著有《平三角举要》一书。“西法用三角，犹古法之用句股也。但三角有钝角，而句股无之，论者遂谓句股之数有所穷，殊不知锐角形须分为两句股，钝角形须补成句股，XXXXX，然则句股虽不能备三角之形，而能兼三角之理，三角不能出句股之外，而能尽句股之用，一而二，二而一者也。”启发、引导学生首先分为两种情况，锐角三角形和钝角三角形，然后按照化未知为已知的思路，构造直角三角形完成证明。

①当
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有
,
。

由此，得
，

同理可得
，

故有

.

从而这个结论在锐角三角形中成立.

②当
ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有
，
。

由此，得
，

同理可得

故有

.

由①②可知，在
ABC中，

成立.

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

.

这就是我们今天要研究的—— 正弦定理

设计意图：让学生体验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行证明，体会到数学的归纳和演绎推理的两个侧面。

思考：你还有其它方法证明正弦定理吗？（由学生讨论、分析）

证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=

两边同除以
即得：
=
=

证明二：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴

同理
=2R，
＝2R

证明三：（向量法）（选讲）

过A作单位向量
垂直于

由　
+
=

两边同乘以单位向量
得

(
+
)=

则


+


=

∴|
||
|cos90(+|
||
|cos(90((C)=|
||
|cos(90((A)

∴
∴
=

同理，若过C作
垂直于
得：
=

∴
=
=
。

正弦定理：
=
=
=2R（R是
外接圆的半径）

变形：
。

设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。

接着给出解三角形的概念：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．

问题2：你能否从方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的几个元素？

解三角形的类型有几种？

四种：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边某某。

已知三角形的两边和两边的夹角，计算其余边某某。

（4）已知三角形的三边，计算三角形的三个角。

问题 3：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边某某。

设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性

3. 应用定理：

例1. 应用正弦定理解决提出的求河岸两侧两点间距离问题.（教师板书示范）

题目见创设问题情境, 引导学生给出解决方法

设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。

跟踪训练1.在△ABC中，已知a＝18，B＝60XXXXX，C＝75XXXXX，求b的值．（学生上台板书）

解　根据三角形内角和定理，

A＝180XXXXX－(B＋C)＝180XXXXX－(60XXXXX＋75XXXXX)＝45XXXXX.

根据正弦定理，得b＝＝＝9.

例2.在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为(　　)

（例2和跟2，小组竞赛，竞争合作）

跟踪训练2：在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝________.

解析　由正弦定理，得sin A＝＝＝，

又A∈(0，XXXXX)，a>b，∴A>B，∴A＝或.

用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。

例3.在任意△ABC中，求证：a(sin B－sin C)＋b(sin C－sin A)＋c(sin A－sin B)＝0.（选讲）

证明:由正弦定理，令a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，k>0.代入得：

左边＝k(sin Asin B－sin Asin C＋sin Bsin C－sin Bsin A＋sin Csin A－sin Csin B)＝0＝右边，所以等式成立．

另法：（教师启发诱导，学生深入思考，独立完成）

七、课堂小结：（学生发言，互相补充，老师评价.）

1．用三种方法证明了正弦定理：

（1）转化为直角三角形中的边角关系；

（2）利用向量的数量积（选讲）．

（3）外接圆法

2．理论上正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边某某．

3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：

一方面可以化边某某，转化为三角函数问题来解决；

另一方面也可以化角为边，转化为代数问题来解决.

数学思想：分类讨论、转化化归

设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

八、布置作业：（分层作业）

1.作业本：P10.习题1.1.A组：1，2.

练习册：完成 1.1.1

2.思考：

（1）正弦定理的证明还有别的方法吗？

（2）已知两边和其中一边的对角,解三角形时,解的情况可能有几种？试从理论上说明.

设计意图：根据分散难点，循序渐进原则，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理”第二课时中予以下图的剖析阐述。



课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用（相关网址：www.bjdcfy.net）

九、教学反思：

本设计通过解斜三角形的一个实际问题引导学生发现三角形的边角关系，将斜三角形的边角关系转化为直角三角形的边角关系导出正弦定理，思路自然，学生乐于接受。通过引导学生发现直角三角形中的正弦定理，进而探究在任意三角形中是否还成立？将学生带入探索新知的氛围，学生从已有的知识经验出发，探索得出新结论，体验了成功的乐趣，对如何运用定理解决问题也是跃跃欲试，在课堂小结教学中，给学生一个畅所欲言的机会，互相评价，最终得到完善的答案．这样做，可以锻炼学生的语言表达能力，这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程，对于培养意志品质起到了重要作用．

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教师的启发引导下，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供表达、质疑、探究问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。

一点感悟：新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！

[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

以上为《*_**李某某《正弦定理》教学设计》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读上面文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。