正余弦定理解决三角形中的范围问题教学案例

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“正余玄定理解决三角形中的范围问题”教学案例

***学 刘某某

一、教材分析

解三角形是高中数学必修五第一章的内容，与三角函数知识有着密切的联系，其内容包括正余弦定理及三角形面积公式，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边角之间的数量关系，并运用它们解决一些应用问题。本节课是正余弦定理的综合应用，包括利用正余弦定理解三角形及三角形形状的判定。渗透了分类讨论、方程思想及转化思想，注重运算能力的提升及规范书写习惯的培养。

二、考纲要求

解三角形是高考的热点，要求会用正余弦定理及面积公式解决三角形问题。题型有选择题、填空题和解答题三种形式，考查利用正余弦定理解三角形、三角形形状的判定及综合应用。在考查基本公式及基本运算的基础上，注重考查分类讨论、方程思想和等价转化思想。

三、学情分析

学生已经处在了高三，基础知识完备。前面两节课学生复习了正余弦定理及其简单应用，熟悉了正余玄定理在解三角形问题中的简单用法。本节课是正余弦定理在高考中的热点及难点题展现，学生通过前两天的学习，完整的复习了正余弦定理的相关内容及简单应用，简单掌握了正余弦定理与函数和不等式的之间的联系。

四、教学目标

1、知识与能力目标：记准正余弦定理及变形、面积公式，会用定理解三角形、判断三角形边、角取值范围。

2、过程与方法目标：学会用数学的思维方式解题，提升运算能力，体会转化数学思想方法。?

3、情感态度价值观：?培养独立思考、合作探究意识，养成规范书写习惯和扎实严谨的态度。

五、教学重难点: 正余弦定理的应用

六、教法学法

本节课采用“三环六步”教学模式，学生首先在自主学习课上独立完成导学案上的内容，然后展示课上讨论、展示、探究、质疑存在的问题，教师精讲点拨，提炼知识要点、解题方法、注意事项，最后检测学生掌握情况，师生共同总结本节课内容。既突出学生的主体地位，又发挥教师的主导地位。

七、?教学用具： 多媒体课件、投影展台

一、文本研读

1、知识梳理

【设计意图】自主梳理以填空题的形式出现，由学生自主学习课上完成，目的是让学生复习本节课所用到知识点；课上展示答案，学生组内讨论，提出疑问，准确记忆。目的是让学生明确本节课所要用的知识点，做到心中有数，为下一环节“激情互学”做好准备。

2、思维导图

【设计意图】展示学生画的思维导图，构建学科体系，使知识与方法更加清晰化，有利于准确记忆。

3、核心考点

【设计意图】通过“精心自学”的形式对核心知识进行预习自测，课前了解主要知识点，确保完成本节课学习目标。

1. 在△ABC中，若sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是(　　)

A．(0，] B．[，XXXXX) C．(0，] D．[，XXXXX)

2．(2015XXXXX厦门卷)在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)<sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为(　　)

A. B. C. D.

3．(2012XXXXX大纲全国)△ABC中B＝60XXXXX，AC＝，则AB＋2BC最大值________

二、问题探究

本环节设计一个目标：利用正、余弦定理解三角形，判断三角形边、角、面积的取值范围。

例1、 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值

【设计意图】例1是已知两边关系式问题，目的是让学生明确重要不等式使用条件，能够快速准确解答问题，并培养学生仔细观察的品质，训练学生抓住要素高效得分意识，结合余弦定理，渗透整体意识，这样的处理技巧，能够简化运算，在此基础上考查了三角形面积公式。

例2是求边的取值范围问题，目的是利用正余弦定理及变形渗透边角转化思想。这也是本节课的难点，因此要学生先独立思考，再组内交流，将讨论结果书面展示，学生质疑，教师点拨一题多解，梳理思路，最后学生整理出规范的解题过程。同时设计了一个变式练习，巩固所学知识与方法。

例2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围

本环节要让学生采用合作交流的“研讨式”学习方式去参与问题的发现、解决过程，在解题中学会分析问题，找到解题关键点，展示、质疑、点评在共同探究中，让学生深刻感悟解题思路，真切感知注意事项，达到提高能力的目的；教师针对典型问题精当引导，导学、导思、导用，引灵、引深，面对学生的质疑教师适时点拨，点在学生困惑之处，点在学生愤悱之时，点睛、点神、点规律、点智慧。

三、达标检测

1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c满足b2＝a2＋c2－ac，若AC＝2，则△ABC面积的最大值为(　　)

A.  B. 2 C. 3 D. 4

2.在△ABC中，a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，若cos 2B＋cos B＋cos(A－C)＝1，b＝，则a2＋c2的最小值为____________

3．(2014XXXXX江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．

4.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75XXXXX，BC=2，则AB的取值范围是 .

5. 【2016年高考北京理数】（本小题13分）

在/ABC中，/.

（1）求/ 的大小；

（2）求// 的最大值.

【设计意图】选择了四个小题（其中两个高某某）和一个解答题（高某某），目的是让学生明确学习目标，落点高考，检测自己的学习效果，看自己是否达到了要求。

四、课堂小结

【设计意图】反思本节课的学习收获，明确主要知识及方法，针对典型例题，记录错误和疑惑，反思不足巩固提高，提高学生的归纳、整理能力。

五、设计理念

本节课的课堂设计理念是“以人为本，以学论教”，真正把知识的形成过程华为学生自学、探究、发现和运用知识的过程，把学习的主动权交给学生；把思维的空间留给学生；把探索的机会让给学生；把体会成功后的快乐送给学生；让学生在操作中探索，在探索中领悟，在领悟中提高。让学生的自主管理的潜力得到彻底释放和解放，让学生真正成为管理的主人，让学生学会自主管理，自主进步。

总之，在新的课堂模式下，课堂引导员环环引领导流程，学科代言人层层剖析显本领，小组成员探究疑难展成果，讨论成为自我提升的主旋律，探究成为自我发展的主战场，展示成为自我锻炼的大舞台。我们就是要实现“课堂动起来，知识串起来，小组活起来，关键找出来，重点突出来，能力提上来，规范摆出来！”

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