椭圆的标准方程

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椭圆的标准方程教学设计

麒麟高级中学 王某某

一、教材内容分析

本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。

二．学情分析

高二的学生思维活跃勇于探索，初步具备了用旧知识解决新问题的能力。但由于普通中学的学生基础较差，思维能力较弱，导致自信心较弱，因此克服困难的勇气和毅力也较弱。而且对应用“坐标法”和“数形结合思想方法”只是初步了解，对“坐标法”解决问题掌握不够，对“数形结合思想方法”理解不够透彻，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍,同时在求椭圆标准方程时，学生对根式方程的化简有一定的难度，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。因此，在教学过程中教师必须进行细致的启发和引导，从而激发学生的学习兴趣，充分发挥其主观能动性，才能达到预期的教学目的.

三．教学目标

知识与技能：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导。会求一些简单的椭圆的标准方程。

过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

情感、态度与价值观：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。

四．教学重点与难点

1.教学重点：椭圆的定义及其标准方程。

突出重点的方法：（1）提前让学生准备教具：一块纸板，一根定长的细绳和两枚图钉，通过改变图钉距离画出椭圆的过程去理解椭圆的本质特征，再给出椭圆的定义，最后加以强调；（2）以问题串的形式引导学生实现椭圆几何特征的代数表示，进而以问题串的形式引导学生化简求得标准方程.（3)通过几何画版课件的动态演示完整揭示椭圆的本质特征。

2.教学难点:椭圆的标准方程的推导过程

突出难点的方法：在教学中应注意适应学生的思维过程，先让学生实践推导过程，再与教材中的方法进行比较，从而积累代数变形的经验.为突破难点，在设计中通过课堂精心设问.如:??①教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？ ②教师问：对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？

五.教学设计思路

我们在教学中采用实验探索实验法，启发引导讨论发现法等教学法，具体做法如下：

1.通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过实验、观察、

猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力。

2.由演示出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括→强调细节，得到椭圆标准方?????????????程教师边演示边提出问题，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦。

六、教法与学法：

1．通过探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源，生动活泼的展示图形，强调学生动手操作试验和主动参与。

2．教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题。

七．教学过程

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教学过程



教学环节

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图



情景引入

1、观察计算机演示《常见椭圆的轨迹》课件，提出问题：这些轨迹是什么图形？这些曲线你还在什么地方见过？

师：组织学生观察演示，并提出问题．

师：由此可见，椭圆在实际生活中是很常见的，因而学习椭圆的有关知识是非常必要的．

生：根据自己的观察，回答出运动的轨迹是椭圆，并举出常见的一些椭圆如生活中的一些图形、立体几何中圆的直观图，一些物体的横截面的轮廓线。

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通过实际例子创设情景，可使引入自然，易于接受，又使教学内容亲切，激发学生的学习热情，促使学生萌发解决问题和学习新知识的欲望



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形

成

概

念

2、我们知道，平面上动点到定点距离是常数点的轨迹是圆，那么椭圆是什么条件的点的轨迹呢？如何对椭圆下定义？

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师：，让学生拿出课前准备的一块纸板、一段细绳、两颗图钉按课本要求画椭圆。

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师：然后用几何画板动态演示《椭圆轨迹的形成》课件。

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???师：在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下，??（1）当两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？（2）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？（3）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？（4）当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？

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师：在此基础上，引导学生概括椭圆的定义。学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．

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生：是否到两定点距离之和等于定值的点的轨迹就是椭圆呢？

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（学生可能一时回答不出，教师可请学生观察演示）

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学生经过动手操作→独立思考→共同交流的探究过程，得出以下结论：当绳长（定值）大于两图钉（定点）间距离时得到的是椭圆；当两图钉（定点）重合时，得到的是圆；当绳长（定值）等于两图钉（定点）的距离时，得到的是线段；不能使绳长小于两图钉（定点）的距离，因为轨迹不存在．

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生：由此得出椭圆、椭圆的焦点、焦距的概念：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

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通过类比圆和实际操作，探究椭圆形成过程满足的几何条件，使学生对椭圆的概念有一个粗略的认识，然后通过演示、观察、猜想、归纳得到椭圆的概念．



推导方程

?1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆方程简单？

?2．选择方案b，椭圆上的点满足什么条件？能否用集合表示出来？

3. 如何推导出椭圆的方程？

4. 若选定方案c，方程的形式又怎样？

?5.两个椭圆方程中，a、b、c三者的大小关系怎样？关系如何？

6.两个方程中，焦点位置与方程形式有何关系？

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师：回顾圆的方程的建立过程和求曲线方程的一般步骤

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师：提出问题，启发、强调建立适当坐标系的重要性（让学生把画的椭圆对折引导观察对称性）。

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师生通过归纳评议，分析各种方案的利弊，由椭圆的对称性，最后确定采取方案b。

教师启发学生由椭圆的定义，得出表示椭圆的集合：

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指导学生设点、列式，化简，并引导学生回顾化简的方法（移项，两边平方，再移项两边平方），从而得到：

?并思考：

此方程仍然不够简洁，还有变形的必要，你认为应如何变形，使之更为简洁

师：引导学生观察课本2．1-3，从中找出 ，并把椭圆方程整理成： 并指出上式就是椭圆的标准方程。

提出不必运算，让学生合理猜想，注意引导学生两个方程形式相同，仅仅是x、y的位置互换了，进一步得出：焦点在y轴上的椭圆标准方程

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(a>b>0)

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师：提出问题，引导学生回答出两种形式的椭圆的焦点是什么？

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师：其判断的依据是：∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上

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生：曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

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生：讨论、交流、归纳（大体有如下三种方案）：

a．取一定点为原点，以F1F2所在直线为x轴

b．以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2中点为坐标原点；

c．以F1F2所在轴直线为y轴，线段F1F2中点为坐标原点。

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师生归纳得出：

一般写成 ．

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生：表示焦点在x轴上的椭圆，焦点F1(-c,0),F2(c,0);

(2) 表示焦点在y轴上的椭圆，焦点F1(0,-c),F2(0,c);

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建立直角坐标系一般要符合简单和谐化的原则，正确处理关键点的坐标可使关键的几何量的表达式简单化．

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用数学表达式表示椭圆．

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引导学生分析，鼓励学生自行推导、概括，从而提高学生分析、思考、归纳、整理的能力．

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注意椭圆的焦点位置和方程形式的关系，切忌混淆．



巩固练习

讨论完成思考与交流，及课本63页练习题。

课堂反馈 练习第一题和第二小题．

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师：启发，学生讨论利用所学椭圆的基本知识对问题做出正确的结论。

师：巡堂指导，并组织学生对自己解答进行评价

生：独立完成练习第1题和第2题。

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归纳总结能力．

反馈学生对知识掌握情况．

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课

堂

教

学

流

程

图??????????????????????????????????????????????????????????????

观察演示直观认识椭圆 ??→ ?学生自己动手画图，“定性”认识椭圆 ????→

?????引导学生归纳形成椭圆定义 ?→ ?再提出问题，用坐标法“定量”地描述椭圆 ?→??????得出椭圆标准方程 ?→ ?例题习题处理 ??→???练习、交流、反馈、巩固 ??→

学生归纳小结、教师评价



八．教学反思

本节课按新课标的要求创设情境激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性；在新知的讲解中紧扣关键词易错点，设置不同的疑问，通过师生共同探究，逐个完成对各个易错点的突破；例题的讲解中，鼓励学生主体参与，采取到黑板书写，既能培养学生的反应能力又能训练了学生书写以及正规答题格式。课题的引入以及例题均采用投影仪、多媒体等现代教学手段，加大课堂容量和教学直观性。

在学习方法上主要使学生能很好的做到数形结合，启发他们利用已学的知识迁移到新知中，如椭圆定义的数学语言叙述，以及标准方程的推导。通过实验研究细心观察、认真分析、学会归纳、抽象的能力和语言表达能力，从而让学生的数学的能力完成不同层次的提升。

本节课椭圆定义的形成过程十分重要，实际教学中学生很难做到能用精确的数学语言来描述椭圆定义，或许正是这种不完整的描述引来的一些易错点会加深学生印象。在推导标准方程时，教材是对式子进行了有理化之后与原式相加达到化简的目的。实际上对含有两个根式的代数式的化简一般采取将一个根式保留在等号一边然后两边平方的方法，这种方法更具有一般性（学生对此运算技巧不熟悉，而且运算能力不高），而教材中的方法则充分利用了代数式的对称性，化简中的运算量较小，但从对含两个根式的代数式化简的方法来看不具有一般性，具有较强的技巧性.大多数学生在对方程进行化简时会采取两边平方的方法，在教学中应充分展示学生的不同方法，并注意引导学生对不同方法进行比较，点评，提高学生代数运算的能力.同时求轨迹方程的验证一项教材是以小字形式出现，对初学圆锥曲线的学生理解难度较大，在课堂不要做太多要求，要合理的处理。

本节课的不足之处：课堂容量较大，从而导致学生归纳总结这个环节较仓促。因此今后要合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效率。一部分学生的计算能力还不够熟练，缺乏简化计算的能力，今后还要继续加强对学生这方面能力的培养。

总之，本节课我将自己的想法融入课件之中，展示知识的形成过程，并通过学生的自主探究，使其感受到获得知识的乐趣。在以后的教学中，我要不断的努力，不断总结经验，提高自己的教学水平。

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