方某某的根与函数的零点

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第三章　函数与方某某

　方某某的根与函数的零点

复习

1．方某某的根与函数的零点

(1)函数零点的概念．

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫函数y＝f(x)的零点．函数的零点是一个实数．

(2)方某某的根与函数零点的关系．

求函数y＝f(x)的零点，就是求方某某f(x)＝0的实数根．方某某f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．

2．函数零点的判断

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方某某f(x)＝0的根．

思考感悟

1．函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？

提示：函数的零点不是点，而是对应方某某的根；并不是任何函数都有零点，如函数y＝x2＋x＋1就没有零点．

2．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)>0，在区间(a，b)上就没有零点吗？

提示：当f(a)f(b)<0时，则在(a，b)上一定有零点，但不一定说明有几个，可以有若干个，至少有一个．但并不是说当f(a)f(b)>0时，在(a，b)上就没有零点，当f(a)f(b)>0时，(a，b)上亦可能有零点．并且当f(a)f(b)<0时，(a，b)上也不一定只有一个零点，若另有f(x)在(a，b)上单调，可说明f(x)在(a，b)上有一个零点．

答案：B

2．函数y＝x2－3x＋1的零点个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．不确定

答案：C

3．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)XXXXXf(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上(　　)

A．至少有三个零点 B．可能有两个零点

C．没有零点 D．必有唯一的零点

答案：D

4．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<1 B．a>1

C．a≤1 D．a≥1

解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方某某x2＋2x＋a＝0没有实数根，故判别式XXXXX＝4－4a<0，解得a>1.

答案：B

5．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数所有零点之和为__________．

解析：∵f(x)为偶函数，

∴f(x)的图象关于y轴对称，

∴f(x)的零点也关于y轴对称，

∴即零点之和为0.

答案：0

互 动 课 堂

典 例 导 悟

类型一　　函数零点的概念及求法

[例1]　求函数y＝－x2－2x＋3的零点，并指出y>0，y<0时，x的取值范围．

[解]　如图1所示，解二次方某某

－x2－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1，

∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3,1.

y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当－3<x<1时，y>0；当x<－3或x>1时，y<0.

∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3,1.

当y>0时，x的取值范围是(－3,1)；

当y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．

[点评]　函数的零点即对应方某某的根．本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2＋bx＋c>0(<0)的解集，体现了数形结合的思想方法．

变式体验1　(1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a、b的值．

(2)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．

类型二　　函数零点的判断

[例2]　判断下列函数在给定区间上是否存在零点．

(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；

(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；

(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．

[分析]　零点的存在性判断可依据零点的存在性定理，有时也可以结合图象进行判断．

[解]　(1)法1：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝64－24－18＝22>0.

∴f(1)XXXXXf(8)<0∴f(x)在[1,8]内存在零点．

法2：令x2－3x－18＝0，得x＝6或x＝－3.又6∈[1,8]．

∴函数f(x)在[1,8]内存在零点．

(2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，

∴f(－1)XXXXXf(2)<0，

∴函数f(x)在[－1,2]内存在零点．

变式体验2　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．

解：解法1：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，

f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，

∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，

又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，

故f(x)有且只有一个实根．

解法2：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的叠合图．

由图象知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点，

即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．

点评：判断函数零点个数的方法主要有：

①用计算器或计算机计算并描点作出函数f(x)＝g(x)－h(x)的图象，由图象、函数的单调性及零点的判断方法作出判定，如本例法一；

②由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的叠合图，利用图象判定方某某根的个数，如本例法二；在实际运用中，大多数选用法二．

思 悟 升 华

1．对于函数零点的概念，应注意以下几点问题：

(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．

(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．

2．对函数零点的判定定理的理解

(1)函数零点的判定定理是一个存在性定理，也就是说，当函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，并且有f(a)XXXXXf(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，而不是只有一个，即方某某f(x)＝0在(a，b)上至少有一个根．例如，如图4(1)所示，f(x)＝x3－3x2＋2x，有f(－1)＝－6<0，f(3)＝6>0，但f(x)＝0在(－1,3)内有三个根：x1＝0，x2＝1，x3＝2.

3．函数零点的求法：

(1)代数法：求方某某f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：对于不能用求根公式的方某某，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

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