任意角三角函数、同角三角函数间的基本关系式

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重点内容：　1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

第一课时 任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着_____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(3)终边相同的角：所有与角XXXXX终边相同的角，连同角XXXXX在内，可构成一个集合S＝{XXXXX|XXXXX＝XXXXX＋kXXXXX360XXXXX，k∈Z}．

知 识 梳 理

正角

负角

零角

象限角

端点

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于_______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式

半径长

|XXXXX|r

3.任意角的三角函数

y

x

MP

OM

AT

考点一　象限角与三角函数值的符号判断

答案　(1)B　(2)A

考点二　扇形弧长、面积公式的应用

【例2】 已知一扇形的圆心角为XXXXX(XXXXX>0)，所在圆的半径为R.

(1)若XXXXX＝60XXXXX，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当XXXXX为多少弧度时，该扇形有最大面积？

解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则

[思想方法]

1．任意角的三角函数值仅与角XXXXX的终边位置有关，而与角XXXXX终边上点P的位置无关．若角XXXXX已经给出，则无论点P选择在XXXXX终边上的什么位置，角XXXXX的三角函数值都是确定的．如有可能则取终边与单位圆的交点．其中|OP|＝r一定是正值．

2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．

[易错防范]

1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90XXXXX的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．角度制与弧度制可利用180XXXXX＝XXXXX rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．

3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．

第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：________________．

(2)商数关系：________________．

知 识 梳 理

sin2XXXXX＋cos2XXXXX＝1

2．三角函数的诱导公式

－sin XXXXX

－cos XXXXX

tan XXXXX

－sin XXXXX

cos XXXXX

－tan XXXXX

sin XXXXX

－cos XXXXX

－tan XXXXX

cos XXXXX

cos XXXXX

－sin XXXXX

sin XXXXX

考点一　同角三角函数基本关系式及应用

答案　(1)－1　(2)D

规律方法　若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．

答案　A

规律方法　利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．

深度思考　第(2)小题有两种解法，其一结合平方关系解方程组求sin XXXXX与cos XXXXX；其二求cos XXXXX－sin XXXXX；你用到的哪一种？但作为选择题本题还可以根据已有的结论猜测sin XXXXX与cos XXXXX.

诊 断 自 测

XXXXX

√

XXXXX

XXXXX

XXXXX

2．(2014XXXXX新课标全国Ⅰ卷)若tan XXXXX＞0，则 (　　)

A．sin 2XXXXX＞0 B．cos XXXXX＞0

C．sin XXXXX＞0 D．cos 2XXXXX＞0

解析　由tan XXXXX＞0可得XXXXX的终边在第一象限或第三象限，此时sin XXXXX与cos XXXXX同号，故sin 2XXXXX＝2sin XXXXXcos XXXXX＞0，故选A.

答案　A

诊 断 自 测

XXXXX

√

√

√

答案　B

点拨　依据题意列出不等式组，通过画图作出三角函数线，找到边界角，从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可．

点评　利用单位圆求解函数定义域问题时，应熟练掌握0到2XXXXX范围内的特殊角的三角函数值，注意边界角的取舍，一定要与相应三角函数的周期结合起来，这也是本题的难点所在．

[易错防范]

1．诱导公式的应用及注意事项

(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．

(2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kXXXXXXXXXXXXXXX的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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