6.2　立方根

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七年级数学XXXXX下 新课标[人]

第六章　实　数

6.2　立方根

要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边某某该是多少?

想一想

设这种包装箱的边长为x m,则x3=27,这就是求一个数,使它的立方等于27.

因为33=27, 所以x=3.

即这种包装箱的边某某为3 m.

上述求包装箱边长的过程,是一种怎样的运算过程呢?

0

8

-8

0.125

-0.125

1.立方根的定义.

(2)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?

一个数的立方值不一定都是正数,一个数的平方值一定是非负数.当底数互为相反数时,立方值是一对互为相反数的数,平方运算的底数互为相反数,但其平方值相等.

(3)如果把上述每小题的计算过程反过来,请你用含有另外的算式进行表达.

(4)参照平方根的定义,你能得出立方根的定义吗?

一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.

(1)什么叫做开立方?

(2)开立方与立方的运算是怎样的关系?

(3)开立方的数学符号表达是怎样的?

求一个数的立方根的运算,叫做开立方.

开立方与立方互为逆运算.

一个数a的立方根表示为 ,读作“三次根号a”,其中a是被开方数,3是根指数,要特别注意,这里的根指数3不能省略.

问题思考:

2.立方根的性质.

(4)类比平方根的性质,请你总结下立方根的性质.

正数的立方根是正数；

负数的立方根是负数；

0的立方根是0.

解：(2)因为(-0.4)3=-0.064,

所以-0.064的立方根是-0.4,即

解:(1)因为53=125,

所以125的立方根是5,即 .

　 例：(补充)求下列各数的立方根.

(1)125； (2)-0.064； (3)-5 ； (4) .

〔解析〕可利用开立方与立方互为逆运算来求出各数的立方根,注意应用立方根的性质 .

解： (4)因为 =8,而23=8,

所以 的立方根是2,即 　 =2.

　 解： (3)因为-5 = - ,= - ,

所以-5 的立方根是- .

知识拓展

3.用计算器求立方根.

(1)用计算器求立方根的方法.

方法一:很多有理数的立方根是无限不循环小数,我们可用计算器求出它的近似值,如 ,按键顺序为: 4 .

方法二:有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根,按键顺序为:先按 键,再按 键,再输入被开方数,最后按 键.

解: (1) 按键顺序为 1594.5,

显示11.***,所以 ≈11.68.

例：用计算器求下列各数的立方根.(精确到0.01)

(1)1594.5; (2)0.001237; (3)-5

解：(2) 按键情况类似于(1), ≈0.11.

解： (3)按键情况类似于(1),　 ≈-1.73.

因为 ≈4.642,

所以 ≈0.4642,

≈0.04642,

≈46.42.

问题提示:发现规律:被开立方数的小数点每向右(或向左)移动三位,开立方后的结果向相同的方向移动一位.

(2)探究(教材51页).

知识拓展

课堂小结

　 1.64的立方根是 (　　)

A.4 B.XXXXX4 C.8 D.XXXXX8

解析:一个实数的立方根有且只有一个,确定一个数的立方根一般可以利用立方运算来求解.因为43=64,所以64的立方根是4.故选A.

A　

　 2. 等于(　　)

A.2 B.-2 C.2 D.-2

解析:如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可.因为只有(-2)3=-8,

所以 =-2.故选B.

B　

　 3.下列说法正确的是 (　　)

A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数

B.一个数的立方根与这个数同号

C.如果一个数有立方根,那么它一定有平方根

D.一个数的立方根是非负数

解析:利用立方根的定义判断即可得到结果.A.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误;B.一个数的立方根与这个数同号,正确;C.如果一个数有立方根,不一定有平方根,例如-1的立方根为-1,-1没有平方根,错误;D.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误.

B　

4.一个长方体的长为5 cm、宽为2 cm、高某某3 cm,而一个正方体的体积是它的3倍.求这个正方体的棱长(结果精确到0.01 cm).

解:设这个正方体的棱长为x cm.根据题意,得x3=3XXXXX5XXXXX2XXXXX3,即x3=90,两边开立方,

得x= ≈4.48.即这个正方体的棱长约为4.48 cm.

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