6.2 立方根
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七年级数学XXXXX下 新课标[人]
第六章 实 数
6.2 立方根
要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边某某该是多少?
想一想
设这种包装箱的边长为x m,则x3=27,这就是求一个数,使它的立方等于27.
因为33=27, 所以x=3.
即这种包装箱的边某某为3 m.
上述求包装箱边长的过程,是一种怎样的运算过程呢?
0
8
-8
0.125
-0.125
1.立方根的定义.
(2)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?
一个数的立方值不一定都是正数,一个数的平方值一定是非负数.当底数互为相反数时,立方值是一对互为相反数的数,平方运算的底数互为相反数,但其平方值相等.
(3)如果把上述每小题的计算过程反过来,请你用含有另外的算式进行表达.
(4)参照平方根的定义,你能得出立方根的定义吗?
一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.
(1)什么叫做开立方?
(2)开立方与立方的运算是怎样的关系?
(3)开立方的数学符号表达是怎样的?
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
开立方与立方互为逆运算.
一个数a的立方根表示为 ,读作“三次根号a”,其中a是被开方数,3是根指数,要特别注意,这里的根指数3不能省略.
问题思考:
2.立方根的性质.
(4)类比平方根的性质,请你总结下立方根的性质.
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0的立方根是0.
解：(2)因为(-0.4)3=-0.064,
所以-0.064的立方根是-0.4,即
解:(1)因为53=125,
所以125的立方根是5,即 .
例：(补充)求下列各数的立方根.
(1)125； (2)-0.064； (3)-5 ； (4) .
〔解析〕可利用开立方与立方互为逆运算来求出各数的立方根,注意应用立方根的性质 .
解： (4)因为 =8,而23=8,
所以 的立方根是2,即 =2.
解： (3)因为-5 = - ,= - ,
所以-5 的立方根是- .
知识拓展
3.用计算器求立方根.
(1)用计算器求立方根的方法.
方法一:很多有理数的立方根是无限不循环小数,我们可用计算器求出它的近似值,如 ,按键顺序为: 4 .
方法二:有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根,按键顺序为:先按 键,再按 键,再输入被开方数,最后按 键.
解: (1) 按键顺序为 1594.5,
显示11.***,所以 ≈11.68.
例：用计算器求下列各数的立方根.(精确到0.01)
(1)1594.5; (2)0.001237; (3)-5
解：(2) 按键情况类似于(1), ≈0.11.
解： (3)按键情况类似于(1), ≈-1.73.
因为 ≈4.642,
所以 ≈0.4642,
≈0.04642,
≈46.42.
问题提示:发现规律:被开立方数的小数点每向右(或向左)移动三位,开立方后的结果向相同的方向移动一位.
(2)探究(教材51页).
知识拓展
课堂小结
1.64的立方根是 ( )
A.4 B.XXXXX4 C.8 D.XXXXX8
解析:一个实数的立方根有且只有一个,确定一个数的立方根一般可以利用立方运算来求解.因为43=64,所以64的立方根是4.故选A.
A
2. 等于( )
A.2 B.-2 C.2 D.-2
解析:如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可.因为只有(-2)3=-8,
所以 =-2.故选B.
B
3.下列说法正确的是 ( )
A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数
B.一个数的立方根与这个数同号
C.如果一个数有立方根,那么它一定有平方根
D.一个数的立方根是非负数
解析:利用立方根的定义判断即可得到结果.A.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误;B.一个数的立方根与这个数同号,正确;C.如果一个数有立方根,不一定有平方根,例如-1的立方根为-1,-1没有平方根,错误;D.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误.
B
4.一个长方体的长为5 cm、宽为2 cm、高某某3 cm,而一个正方体的体积是它的3倍.求这个正方体的棱长(结果精确到0.01 cm).
解:设这个正方体的棱长为x cm.根据题意,得x3=3XXXXX5XXXXX2XXXXX3,即x3=90,两边开立方,
得x= ≈4.48.即这个正方体的棱长约为4.48 cm.
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