3.3.1两条直线的交点坐标

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第三章 直线与方程

3.3 直线的交点坐标与距离公式

引入平面直角坐标系后，如何用代数方法对直线进行定量研究？

用方程表示直线，直线的方程就是直线上每一点的坐标满足的一个关系式，即一个二元一次方程

如何用代数方法解决直线的有关问题？

求两条直线的交点

判断两条直线的位置关系

求两点间的距离

点到直线的距离

两条平行直线间的距离等

3.3.1 两条直线的交点坐标

看下表并填空

几何元素及关系

点A

直线L

点A在直线L上

直线L1与 L2 的交点是A

已知两条直线

L1: A1+B1+C1=0 L2: A2+B2+C2=0 相交

如何求这两条直线的交点坐标？

代数表示

A(a,b)

L:Ax+By+C=0

ax+by+c=0

写出这两条直线的方程，然后联立求解，一般地，得方程组

A1+B1+C1=0

A2+B2+C2=0

有唯一解 交点的坐标

无解 两条直线平行

例1

求下列两条直线的交点坐标：

L1: 3x+4y-2=0

L2: 2x+y+2=0

解： 解方程组

3x+4y-2=0

2x+|y+2=0

得

x=-2

y=2

所以，L1与L2的交点是M(-2,2)

0

x

y

-1

-2

M

L2

L1

？？？

例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：

(1) L1: x-y=0, L2: 3x+3y-10=0;

(2) L1: 3x-y+4=0, L2: 6x-y-1=0;

(3) L1: 3x+4y-5=0, L2: 6x+8y-10=0.

解： （1）解方程组

x-y=0,

3x+3y-10=0,

得

x=

所以，L1与l2相交，交点是M

y=

（2） 解方程组

3x-y+4=0

6x-2y-1=0

9=0， 矛盾，

方程组无解，所以两直线无公共点，L1//L2

（3） 解方程组

3x+4y-5=0

6x+8y-10=0

因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，L1与L2重合。

①

②

①XXXXX2-②得

①

②

①XXXXX2得6x+8y-10=0

练习 P104 1. 2.

小结

求两条直线的交点坐标，一般地，将两条直线的方程联立，

方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；

方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行。

作业

A组 1. 2. B组 1.

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