外接球问题修改稿

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外接球问题

1.什么是外接球？

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.

2.多面体外接球的问题在高考中的地位如何及所考查能力？

它是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.

3.多面体外接球的问题运用了那些知识？

既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1 （2006年广东高某某）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .

例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该

正方体的表面积为24，则该球的体积为

______________.

2、求长方体的外接球的有关问题

例3 （2007年天津高某某）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .

解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.

3.求多面体的外接球的有关问题

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于某某，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为

二、构造法(补形法)

解：

因为长方体外接球的直径为长方体的体对角线长

所以四面体外接球的直径为 的长

即，

所以

球的表面积为

例9（2008年浙江高某某）已知球 的面上四点A、B、C、D， ， ， ，则球 的体积等于 .

三.多面体几何性质法

例11 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A. B. C. D.

四.寻求轴截面圆半径法

小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

五 .确定球心位置法

总结

一、直接法(公式法)

二、构造法(补形法)

三、多面体几何性质法

四、寻求轴截面圆半径法

五、确定球心位置法

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