空间几何体的结构、三视图和直观图

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XXXXX8.1　空间几何体的结构、三视图和直观图

第八章　立体几何与空间向量

基础知识　自主学习

1.多面体的结构特征

知识梳理

互相平行

全等

公共顶点

平行于某某

相似

2.旋转体的形成

任某某

任一直角边

垂直于底边的腰

直径

3.空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括： 、 、 .

(2)三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 方、 方、

方观察到的几何体的正投影图.

正视图

侧视图

俯视图

正前

正左

正上

4.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用 来某某，其规则是

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，xXXXXX轴，yXXXXX轴的夹角为 ，zXXXXX轴与xXXXXX轴和yXXXXX轴所在平面 .

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ；平行于y轴的线段在直观图中 .

斜二测画法

45XXXXX或135XXXXX

垂直

平行于坐标轴

不变

长度变为原来的一半

1.常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆.

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.

(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.

(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.

【知识拓展】

2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“XXXXX”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　 　)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　 　)

(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台.(　 　)

题组一　思考辨析

基础自测

XXXXX

XXXXX

XXXXX

1

2

4

5

6

3

几何画板展示

几何画板展示

几何画板展示

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.(　 　)

(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　 　)

(6)菱形的直观图仍是菱形.(　 　)

XXXXX

XXXXX

XXXXX

1

2

4

5

6

3

2.下列说法正确的是

A.相等的角在直观图中仍然相等

B.相等的线段在直观图中仍然相等

C.正方形的直观图是正方形

D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

题组二　教材改编

1

2

4

5

6

解析

3

答案

√

解析　由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变.

1

2

4

5

6

答案

3.在如图所示的几何体中，是棱柱的为_______.(填写所有正确的序号)

3

③⑤

题组三　易错自纠

4.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是

A.圆柱 B.圆锥

C.四面体 D.三棱柱

解析

1

2

4

5

6

答案

√

3

解析　由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.

解析　侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线.由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故选B.

5.将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为

1

2

4

5

6

答案

√

3

解析

几何画板展示

6.正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________.

解析

1

2

4

5

6

答案

3

解析　画出坐标系xXXXXXOXXXXXyXXXXX，作出△OAB的直观图OXXXXXAXXXXXBXXXXX(如图)，DXXXXX为OXXXXXAXXXXX的中点.

题型分类　深度剖析

1.给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任某某所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是

A.0 B.1

C.2 D.3

题型一　空间几何体的结构特征

自主演练

解析

答案

√

解析　①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；

②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；

③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.

2.以下命题：

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确命题的个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

答案

√

解析

解析　由圆台的定义可知①错误，②正确.

对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确.

(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可.

(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.

(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.

命题点1　已知几何体，识别三视图

典例 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)

解析

题型二　简单几何体的三视图

多维探究

答案

√

A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤

解析　正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是① ；

侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；

俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.

命题点2　已知三视图，判断几何体的形状

典例 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A.10 B.12

C.14 D.16

解析

答案

√

解析　观察三视图可知，该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.

三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高某某2，如图所示.

因此该多面体各个面中有两个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高某某2，

解析　A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图.

命题点3　已知三视图中的两个视图，判断第三个视图

典例 一个锥体的正视图和侧视

图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的

俯视图的是

答案

√

解析

三视图问题的常见类型及解题策略

(1)由几何体的直观图求三视图.注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.

(2)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.

(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状.当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.

跟踪训练 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

A.90XXXXX B.63XXXXX

C.42XXXXX D.36XXXXX

解析

答案

√

方法二　(估值法)由题意知， V圆柱<V几何体<V圆柱，又V圆柱＝XXXXXXXXXX32XXXXX10＝90XXXXX，∴45XXXXX<V几何体<90XXXXX.观察选项可知只有63XXXXX符合.故选B.

解析　方法一　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.

将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.

由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 ，所以该几何体的体积V＝XXXXXXXXXX32XXXXX4＋XXXXXXXXXX32XXXXX6XXXXX ＝63XXXXX.故选B.

解析　由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于某某，所以正视图为A.

(2)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是

答案

√

解析

题型三　空间几何体的直观图

师生共研

典例 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝ ，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图AXXXXXBXXXXXCXXXXXDXXXXX的面积为_____.

答案

解析　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图.

解析

用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与xXXXXX轴或yXXXXX轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.

跟踪训练 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45XXXXX，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________.

答案

解析

解析　如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.

又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1，

由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形AXXXXXBXXXXXCXXXXXDXXXXX.

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