13.4 课题学习 最短路径问题（第1课时）

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13.4 课题学习 最短路径问题 （第1课时）

（一）两点在一条直线两侧问题1 要在公路上修建一个泵站C，分别向公路两侧A、B两镇供气，泵站修在什么地方，可使泵站C到A、B两镇所用的输气管线最短?

（二）一次轴对称：两点在一条直线同侧

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河流l边饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

问题2：“饮马问题”

　　追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？

　　将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直 线．

探索新知

（二）一次轴对称：两点在一条直线同侧

（1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地；

（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，

B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地

到饮马地点，再回到B 地的路程之和；

探索新知

　　追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，

并把它抽象为数学问题吗？

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最

短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上

面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，

　　 AC 与CB 的和最小（如图）．

（二）一次轴对称：两点在一条直线同侧

　思考1：如何将点B转“移”

到l 的另一侧BXXXXX处，满足直线l

上的任意一点C，都保持CB 与CBXXXXX的长度相等？

探索新知

　　如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直

线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB

的和最小呢？

思考2：你能利用轴对称的

有关知识，找到上问中符合条

件的点BXXXXX吗？

（二）一次轴对称：两点在一条直线同侧

　　作法：

（1）作点B 关于直线l 的对称

点BXXXXX；

（2）连接ABXXXXX，与直线l 相交

于点C．

则点C 即为所求．

探索新知

　　问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直

线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB

的和最小？

（二）一次轴对称：两点在一条直线同侧

探索新知

　　问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

最短路线：A ---C---B.

根据：两点之间线段最短.

（二）一次轴对称：两点在一条直线同侧

　　证明：如图，在直线l 上任取一点CXXXXX（与点C 不

重合），连接ACXXXXX，BCXXXXX，BXXXXXCXXXXX．

由轴对称的性质知，

BC =BXXXXXC，BCXXXXX=BXXXXXCXXXXX．

∴　AC +BC

= AC +BXXXXXC = ABXXXXX，

ACXXXXX+BCXXXXX

= ACXXXXX+BXXXXXCXXXXX．

在△ABXXXXXCXXXXX中，

ABXXXXX＜ACXXXXX+BXXXXXCXXXXX，

∴　AC +BC＜ACXXXXX+BCXXXXX．

　　即　AC +BC 最短．

探索新知

　　问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

　　若直线l 上任意一点（与点

C 不重合）与A，B 两点的距离

和都大于AC +BC，就说明AC +

BC 最小．

探索新知

　　思考：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上

任取一点CXXXXX（与点C 不重合），证明AC +BC ＜ACXXXXX

+BCXXXXX？这里的“CXXXXX”的作用是什么？

（二）一次轴对称：两点在一条直线同侧

例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？

一次轴对称：两点在一条直线两侧

变式1：已知直线m、l和点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使点B到点C再到点A的距离之和最小。

变式练习

(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部

变式2：如图，有两条直线m、l和一点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使△BAC的周长最小。

变式练习

(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部

变式3：如图，有两条直线m、l和点B、点D，在直线m、l上分别取点A、点C，使四边形DACB的周长最小。

变式练习

(四）二次轴对称：两点在两相交直线内部

变式4：如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

变式练习

　　由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线

段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为

一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC

的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最

小”． 同问题2是一种类型，自己在练习本上独立完成

课堂小结

1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？

2.轴对称在所研究问题中起什么作用？

3.这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。

推荐作业

1．∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．

P

推荐作业

2.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

（一）两点在一条直线两侧

（二）一次轴对称：两点在一条直线同侧

(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部

(四）二次轴对称：两点在两相交直线内部

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