锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用

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第二十八章 锐角三角函数

28.2　解直角三角形及其应用

第3课时 应用举例（二）

数学 九年级 下册 配人教版

A. 方向角是表示方向的角；以_____和_____方向为基准，来描述物体所处的方向；描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西，而几个方向的角平分线则按日常习惯，即东北，____，_____，_____.

1.如图28-2-21，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为______.

正北

40 m

正南

东南

西北

西南

B. 坡度i是指________与_________的比，这个值与坡角的______值相等；坡度i一般写成1∶m的形式，坡度i的值越大，表明坡角越______，即坡越陡.

2. 填空：

（1）一段坡面的坡角为45XXXXX，则坡度i=______；

（2）某坡面的坡度为1∶3，则坡角是____度.

竖直高度

水平距离

正切

大

1∶1

30

典型例题

知识点1：与方向角有关的应用问题

【例1】 如图28-2-22，一艘观光游船从港口A以北偏东60XXXXX的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37XXXXX方向，马上以每小时40海里的速度前往救援.（1）求点C到直线AB的距离；（2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间. （提示：sin53XXXXX≈0.8，cos53XXXXX≈

0.6）

解：（1）如答图28-2-9，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.在Rt△ACD中，∵∠ADC=90XXXXX，∠CAD=30XXXXX，AC=80海里，∴点C到直线AB的距离CD= AC=40（海里）. （2）在Rt△CBD中，∵∠CDB=90XXXXX，∠CBD=90XXXXX-37XXXXX=53XXXXX，∴BC= =50（海里）.

∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：

50XXXXX40= （小时）.

举一反三

1. 如图28-2-23，甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60XXXXX的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇. 假设乙船的速度和航向保持不变，求：

（1）港口A与小岛C之间的距离；

（2）甲轮船后来的速度.

解：（1）A,C间的距离为（ +15）海里.

（2）轮船甲从B到C的速度为 海里/小时.

典型例题

知识点2： 与坡度、坡角有关的应用问题

【例2】 如图28-2-24，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角为30XXXXX，求坝底AD的长度.(精确到0.1 m；参考数据： ≈1.414， ≈1.732)

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，如答图28-2-10所示.

由题意，得BC=EF=6 m，BE=CF=20 m，斜坡AB的坡度i=1∶2.5.在Rt△ABE中，BE=20 m， ，∴AE=50(m).在Rt△CFD中，∠D=30XXXXX，

∴DF= (m).

∴AD=AE+EF+FD=50+6+ ≈90.6(m).

答：坝底AD的长度约为90.6 m.

举一反三

2. 如图28-2-25，一堤坝的坡角∠ABC=62XXXXX，坡面长度AB=30 m(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50XXXXX，则此时应将坝底向外拓宽多少米？

(结果保留到1 m；参考数据：

sin62XXXXX≈0.88，cos62XXXXX≈0.47，

tan50XXXXX≈1.20)

解：如答图28-2-11，过点A作AE⊥CD于点E．

∵在Rt△ABE中，∠ABE=62XXXXX，

∴AE=ABXXXXXsin62XXXXX=30XXXXX0.88=26.4(m)，

BE=ABXXXXXcos62XXXXX=30XXXXX0.47=14.1(m).

在Rt△ADE中，∠ADB=50XXXXX，

∴DE= =22(m).

∴DB=DE-BE≈8(m)．

答：此时应将坝底向外拓

宽大约8 m．

A组

1. 如图28-2-26，一艘轮船在B处观测灯塔A位于南偏东50XXXXX方向上，相距40海里，轮船从B处沿南偏东20XXXXX方向匀速航行至C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10XXXXX方向上，则C处与灯塔A的距离是 ( )

A. 20 海里 B. 40 海里

C. 海里 D. 海里

B

2. 如图28-2-27，先锋村准备在坡角为XXXXX的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 m，那么这两树在坡面上的距离AB为 ( )

A. 5cosXXXXX m

B. m

C. 5sinXXXXX m

D. m

B

3. 如图28-2-28，小明从A地沿北偏东30XXXXX方向走

m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时小明离A地________m．

100

4. 科技改变生活，手机导航极大地方便了人们的出行，如图28-2-29，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60XXXXX方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45XXXXX方向行驶一段

距离到达古镇C，小明发现古镇C恰

好在A地的正北方向，求B，C两地

的距离.

解：如答图28-2-12，过点B作BD⊥AC于点D.

在Rt△ABD中，BD=ABXXXXXsin∠BAD=4XXXXX = （km）.

∵在△BCD中，∠CBD=45XXXXX，

∴△BCD是等腰直角三角形.

∴CD=BD= （km）.

∴BC=2BD= （km）.

答：B，C两地的距离是 km.

B组

5. 如图28-2-30，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东15XXXXX方向航行半小时后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60XXXXX的方向，求该船航行的速度.

解：如答图28-2-13，过点A作AD⊥OB于点D.

在Rt△AOD中，

∵∠ADO=90XXXXX，∠AOD=30XXXXX，

OA=40海里，

∴AD= OA=20（海里）.

在Rt△ABD中，

∵∠ADB=90XXXXX，∠B=∠CAB-∠AOB=75XXXXX-30XXXXX=45XXXXX，

∴∠BAD=180XXXXX-∠ADB-∠B=45XXXXX=∠B.

∴BD=AD=20（海里）.

∴AB= （海里）.

∴该船航行的速度为 XXXXX0.5= （海里/小时）.

答：该船航行的速度为 海里/小时.

C组

6. 如图28-2-31，海中有一小岛P，在距小岛P的16 2海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60XXXXX，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明. 如果有危险，轮船自A处开始至少沿南偏东多少度方向航行，

才能安全通过这一海域？

解：如答图28-2-14，过点P作PB⊥AM于点B.

在Rt△APB中，∵∠PAB=30XXXXX，

∴PB= AP= XXXXX32=16（海里）.

∵16＜ ，

故轮船有触礁危险. 为了安全，应该变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径 海里，即这个距离至少为 海里，设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，

由题意，得AP=32海里，PD= 海里，

∵sin∠PAC= ，

∴在Rt△PAD中，∠PAC=45XXXXX.

∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=45XXXXX-30XXXXX=15XXXXX.

答：轮船自A处开始至少沿南偏东75XXXXX方向航行，才能安全通过这一海域. [全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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