保定三中刘洋 利用直线倾斜角教学设计及课后反思
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利用直线倾斜角计算过焦某某
——一道高考解析几何题的教学运用
刘洋（**_*学）
一、教学背景
直线与圆锥曲线位置关系一直是高考解析几何的热点问题。学生处理解析几何问题往往缺少有效手段，只能完成基本的直线方程与圆锥曲线方程的联立。圆锥曲线的过焦某某在高考中出现频率极高，而过焦某某问题有其独特的解决方案。为此，笔者以2008年高考数学安徽卷文科第22题为背景，设计了一节习题课，展现新方法，在教学过程中激发学生的探究欲望，在探究中提升解题能力。
二、试题展示
题目 （2008年高考数学安徽卷文科22题为模板 本人改编）椭圆
（1）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：
（2）过作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 最小值
教师：本题是2008年高考数学安徽卷文科试题，咱们理科学生对文科试题关注较少，以前并没有做过此题。此题是典型的过焦某某弦长问题，对于一般的弦长问题的基本解法是什么？
学生1：用弦长公式，解决弦长问题。
教师：但是此题是已知直线倾斜角，并且第一问的结论与相关，又该怎样处理？
学生2：用斜率来表示弦长，，然后根据三角函数同角关系式，用来表示。
学生3：若时，直线无斜率，还要单独说明。
教师：这的确是解决弦长的一般做法，具有可操作性，但根据题目所述，此方法过程相对复杂。下面展示这种解法。
当时，记，则将其代入方程 得
设 ，则是此二次方程的两个根.
..........(1)
代入（1）式得 .......(2)
当时， 仍满足（2）式
教师：有没有可能直接从入手，解决弦长。
教师出示讨论提纲：1、第一问结论的分母部分为什么是平方差的结构，这是怎么形成的？2、如何在题目中引入？
学生进行分组讨论，然后对讨论结果进行了总结。
学生4：结论中分母可以进行因式分解，有点像裂项。有可能是两个分式之和或之差，即或的结构。因为过焦某某是两个焦半径之和，那极有可能是两部分之和的形式，所以此题完成焦半径计算即可。
学生5：如图1，的计算可以通过到左准线（即）的距离解决，，，，，可求.
教师：非常精彩，利用，其中的计算成功引入了。
在教师的引导下，经过大家分析，使用焦半径描述焦点到准线的距离，推导出焦半径的表达式，再通过两个焦半径的和计算过焦某某。在教师的指导下，学生完成解题。过程如下：
（1）如图2，设，
，，，
，
同理，，，
.
（2）同理，，
，
当或时，最小值为.
三、强化练习
教师：我们探索出利用直线倾斜角计算过焦某某的过程，比直线方程与圆锥曲线方程的联立的方法更快捷、更简单。下面我们来看曾经用传统方法解决过的练习1。
练习1 （2007年高考数学全国一卷理科21题为模板 本人改编）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，垂足为，求四边形的面积的最小值.
过程如下：
如图3，,过做交椭圆于、,,
设，
，，，
，
同理，，，
,同理，，
当或时，最小值为.
教学说明：练习1再次利用典型高考题让学生体会利用直线倾斜角计算过焦某某的优势，感受成功喜悦，增强学习信心。
四、方法拓展
教师：每个小组在练习2、练习3、练习4中选做其中一题，并总结利用直线倾斜角计算过焦某某的优势。
练习2 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 究此问题时的思维过程。提纲如下：1、计算过焦某某的常规做法是什么？2、常规做法怎样证明第一问？3、第一问结论的分母部分为什么是平方差的结构，这是怎么形成的？4、如何在题目中引入？这些问题应该是本节课的一个亮点。
在习题选取方面，练习1直接是针对于例1 的强化练习，练习2变成了已知过焦某某求椭圆方程，练习3把椭圆问题拓展到了双曲线问题，练习4有联系了焦半径分之一求和的定值问题。并不是刻意的面面俱到，而是将此问题层层推进，拓展它的新的使用领域，从而将研究的问题得到升华。
本节课朴素、充实、节奏快，学生收获大，获取新方法，改变了学生对传统解析几何解题的认识，重新以强者身份面对高考解析几何压轴大题。
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