利用二分法求方程的近似解教学设计

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利用二分法求方程的近似解教学设计

教学目标：

理解二分法的定义，掌握二分法求方程的近似解的过程。

了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器求方程的近似解，体会二分思想在数学学习中的重要应用。

通过归纳二分法的特点，熟悉二分法它更适合于计算机程序的应用，了解我国超级计算机，增进民族自豪感和爱国热情。

重难点：

二分法的概念及应用

用二分法求方程的近似解

教学方法：

先学后教

教学过程：

一、复习回顾：

1.函数的零点

把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点

函数零点判定定理：

二、新课探究：

函数f(x)的图像与直角坐标系中的x轴有交点，我们知道，这个交点的横坐标就是方程f(x)=0的解。下面我们讨论解的求法。

a b

假设在区间[a,b]上，f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a).f(b)<0,我们可以取【a,b]的重点，再来判断方程解的新的有解区间，再在新的有解区间内继续一分为二，继续判断新的有解区间，XXXXXXXXXX如此反复，就得到一系列的闭区间，方程的一个解在这些区间中，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程的解，可以得到一个满足要求的近似解。

1.二分法概念：对于图像在区间[a,b]上连续不断且满足f(a)XXXXXf(b)<0的函数y=f(x),***点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法.

练习： 已知函数f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)XXXXXf(2)<0,用二分法逐次计算时,若x0是[1,2]的中点,则f(x0)=　　　　.?

答案:0.625

用二分法求解方程近似解的过程：

在图中:

“初始区间”是一个两端函数值反号的区间;

“M”的含义:取新区间,***点,***的一个,新区间两端点的函数值反号;

“N”的含义:方程解满足要求的精度;

“P”的含义:选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.

在二分法求方程解的步骤中,初始区间的选定,往往需要通过分析函数的性质和试验估计.初始区间可以选得不同,不影响最终计算结果.

思考：二分法的步骤比较繁琐，那么我们学习它的意义何在呢？我国的超级计算机能一秒中计算多少次呢？通过这个知识点来促进爱国精神，增进民族自豪感，让同学们为中华的复兴而学习。

典例探究：

例1下列选项中函数的图像与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是(　　)

反思判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图像在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.

【变式训练1】 下列函数求函数零点不宜用二分法的是 (　　)

A.f(x)=x3-8 B.f(x)=ln x+3

C.f(x)=x2+2 x+2 D.f(x)=-x2+4x+1

【例2】 求方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内的一个近似解,精度为0.1.

分析:本题已给出了规定的区间,可根据二分法求近似解的步骤逐次计算缩小区间,直至达到所要求的精度停止计算,确定出方程解的近似值.

解:令f(x)=x3-x-1,因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数f(x)=x3-x-1的图像是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点,用二分法逐步计算,列表如下:

至此,我们得到,区间[1.312 5,1.375]的区间长度为0.062 5,它小于0.1,因此,我们可以选取1.37作为方程x3-x-1=0的一个近似解.

反思：求方程的近似解的步骤:(1)构造函数,利用函数图像或单调性确定方程解某某在的大致区间,通常限制在区间(n,n+1),n∈Z内;(2)利用二分法求出满足精度的方程的解某某在的区间M;(3)写出方程的近似解.

题型三 易错辨析

易错点:对二分法的原理理解不到位而致误

【例3】 已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为
,则下列说法中正确的是(　　)

所以选择D

【变式训练3】 若函数f(x)的图像是连续不断的,且f(0)>0,f(1)f(2)f(4)<0,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点

B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点

C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点

D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点

解析:因为f(1)f(2)f(4)<0,所以f(1),f(2),f(4)至少有一个小于0.

又f(0)>0,所以函数f(x)在区间(0,4)内有零点,故选D.

答案:D

课堂练习：

1下列函数中能用二分法求零点的是(　　)

解析:只有选项C满足二分法求零点的两个条件.

答案:C

2用二分法求函数f(x)=2x3+3的零点***　　)

A.[-2,1] B.[-1,0]

C.[0,1] D.[1,2]

解析:由于f(-2)XXXXXf(1)<0知,初始区间可以取[-2,1].

答案:A

3已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表:

则函数f(x)一***　　)

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,+∞)

答案:B

4设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,3)内近似解的过程中取区间中点x0=2,***　　)

A.(1,2) B.(2,3)

C.(1,2)或(2,3) D.不能确定

解析:∵f(1)=31+3XXXXX1-8=-2<0,f(3)=33+3XXXXX3-8=28>0,f(2)=32+3XXXXX2-8=7>0,

∴f(1)f(2)<0.

∴f(x)=0的***1,2).故选A.

答案:A

4设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,3)内近似解的过程中取区间中点x0=2,***　　)

A.(1,2) B.(2,3)

C.(1,2)或(2,3) D.不能确定

解析:∵f(1)=31+3XXXXX1-8=-2<0,f(3)=33+3XXXXX3-8=28>0,f(2)=32+3XXXXX2-8=7>0,

∴f(1)f(2)<0.

∴f(x)=0的***1,2).故选A.

答案:A

课堂小结：

知道二分法思想在具体内容，并能用简单的二分法思想来求解方程的近似解，知道二分法的特点。

知道二分法的优势所在，它的周而复始是计算机的长处所在。

数学的魅力所在，在将来的信息技术中数学更显得特别重要。

课后练习：用二分法求函数y=x3-3的一个正零点，精度0.1

教后记：

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