排列课件

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排 列

分类计数原理(加法原理)?

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，XXXXX，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，XXXXX，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；

分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

问题1? 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

我们把上面问题中被取的对象叫做元素．于是所提出的问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法．

问题2? 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

解决这个问题，需分3个步骤：

第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；

第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；

第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法．

根据分步计数原理，共有4XXXXX3XXXXX2＝24

　一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

注意：

1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素．

3.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列．

【总结提炼】

　　 排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．

　 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．

练习3 下列问题是排列问题吗？

（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同选择有多少种？

（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同选择有多少种？

（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？

（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？

（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？

（从中归纳这几类问题的区别）

练习2.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列．

解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个．

　 若把这题改为：写出从5个元素．a，b，c，d，e中任取4个元素的所有排列，结果如何呢？

方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“Up嗦”．

练习1.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．

AB? AC? AD? BC? BD? CD　　BA? CA? DA? CB? DB? DC

研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？这一节课我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式．

　1．排列数的定义

　　从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作

．

注意区别“一个排列”与“排列数”的不同：

“一个排列”是指“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，不是数；

“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，是一个数．因此符号只代表排列数，而不表示具体的排列．

2．排列数公式

这里m、n 且m＜n，这个公式叫做排列数公式．它有以下三个特点：

（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1．

（2）最后一个因数是n－m＋1．

（3）共有m个因数．

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n! 表示。

当m=n时

例1. 计算

　　（1）

? （2）

? （3）

　解：（1）

（2）

　（3）

规定0！＝1

例1 计算：

6！=6XXXXX5XXXXX4XXXXX3XXXXX2XXXXX1=720

练 习

例2 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛一次，问一共进行多少场比赛？

例3 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？

（2） 有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

注意区分“本”与“种”

元素不可重复

元素可重复

练习3

有5名男生，4名女生排队。

（1）从中选出3人排成一排，有多少 种排法？

（2）全部排成一排，有多少种

排法？

（3）排成两排，前排4人，后排5人， 有多少种排法？

注：与（2）同解

例4 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？

即有分类，又有分步

例5 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解法一：对排列方法分步思考。

0是“特殊元素”，

特殊元素要特殊（优先）处理。

解法二：对排列方法分类思考。

符合条件的三位数可分为两类：

根据加法原理

分析：由0的位置分类：

1类：0在个位

2类：0在十位

3类：0不在个.十位

0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。

解法三：间接法.

从总数中去掉不合条件的排列的种数

例2．解方程

。

解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1)

∵x≠0,x≠1　∴?2x-1=25

　　解得x=13 　经检验x=13 是原方程的根。

例3．证明：

。

证明：右边

【演练反馈】

1．4辆不同公交车，有4位司机，4位售票员，每辆车上配一位司机和一位售票员，问有多少种不同的搭配方案？

2．由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的正整数？

3．20位同学互通一封信，那么通信的次数是多少？

4. 7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，不同的坐法有多少种？

5、在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？

把两排看作一排来处理

99

6、一条铁路原有n个车站，为适应客运需要，新增加了m个车站，客运 车票增加了62种，问原有多少个车站，现有多少个车站？

　　 排列问题与元素的位置有关，解排列应用题时应从元素或位置出发去分析，结合框图去排列，同时注意分类计数原理与分步计数原理的运用．

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