迁安三中彭某某案例分析
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课题： 椭圆的简单几何性质案例分析（一）
***学 彭某某
课堂设计理念：
授人于鱼不如授人于某某。通过创设符合学生认知规律的问题情景，先学后教,挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，使学生在做中学，学中思，亲身体会创造过程，充分展示思维差异，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。
教学目标：
（1）知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握几何意义以及的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
（2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
（3）情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
教学重点、难点：
重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。
教学策略与学法指导：
教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。 学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。
教学媒体选择与应用：
使用实物投影及多媒体辅助教学。借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。
教学过程：
一、创设问题情景，学生自主探究：
方程表示什么样的曲线，你能利用学过的知识画出它的图形吗？
学生活动过程：
情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；
情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；
情形3：方程变形，求出，联想椭圆画法，利用绳子做图；
情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形；
辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯。
设计意图：
（1）问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决旧体现了对二元二次方程的研究，为利用方程研究性质打下基础；
（2）课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特征：范围、对称性、关键点；
（3）实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异和思维认识层次；
（4）辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识。
教师点评：
（1）能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；
（2）研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；
（3）本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，体现特殊到一般的思想方法。
二、教师板书：椭圆的简单几何性质
引导评价，引入课题：
设置问题，学生思考：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆标准方程有什么特点？
（1）椭圆方程是关于的二元二次方程；
（2）方程的左边是平方和的形式；右边是常数1；
（3）方某某和的系数不相等；
设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备.
【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围；
实物投影展示学生的解题过程，激励学生开拓思维： 学生活动过程：
情形1：变形为：
这就得到了椭圆在标准方程下的范围：
同理，我们也可以得到的范围：
情形2：可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围； 教师点评：太聪明了，你可能没有意识到，如果将a,b乘过去，就得到了，这是我们以后要学习的椭圆方程的另外一种表达方式，椭圆的参数方程，有兴趣的同学下起可以阅读有关内容，所以说我们在研究问题的过程中，结果并不重要，重要的要打开研究问题的思路，拓宽我们的思维角度。
谁还有其他的方法：
情形3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，同理可以得到的范围
设计意图：
（1）传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正体现出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征（1）和（2）的基础上来研究椭圆曲线的几何性质；
（2）通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里体现的异常活跃，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；
（3）多媒体课件展示椭圆的范围，体现数形结合思想。
结论：由椭圆方某某的范围得到椭圆位于直线和所围成的矩形里。
【问题2】自主探究：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性；
实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：
代后方程不变，说明椭圆关于轴对称；
代后方程不变，说明椭圆曲线关于轴对称；
、代，后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称
问题设置：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？
辨析与研讨：代后方程不变，就是用来代换方某某的，方程不变，和关于轴对称，两点坐标都满足方程，而是曲线上任意一点，因此椭圆曲线关于轴对称；其它同理。
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
设计意图：
(1)抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的对称性；
(2)在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的思路，能够引
学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；
(3)多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。
【问题3】自主探究：再次观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标
实物投影展示学生的解题过程，体现学生的思维认识：
在椭圆的标准方某某，令，得，，得
顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点
顶点坐标；，
相关概念：线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长,
在椭圆的定义中，表示焦距，这样，椭圆方某某的就有了明显的几何意义。
设置问题：
在椭圆标准方程推导过程中令能使方程简单整齐，其几何意义是什么？
学生探究：
表示半焦距，表示短半轴长，因此，联结顶点和焦点，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，，即；
多媒体展示特征三角形.
设计意图：
（1）利用方程研究椭圆的顶点坐标学生比较容易接受，相关概念也容易理解，关键是的几何意义，多媒体课件的展示体现的几何意义，从而得到的本质。
三、课堂练习：
阅读课本例1，你有什么认识？
1.利用方程研究椭圆的几何性质时，若椭圆的方程不是标准方程，首先应将方程画为标准方程，然后找出相应的。
利用椭圆的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性
2.掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项：
（1）以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；
（2）由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；
（3）用曲线将四个顶点连成一个椭圆；
（4）画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.
设计意图：
（1）学生阅读交流提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的应用；
（2）与开头相呼应，使学生认识到椭圆的简单几何性质能够简化做图过程；
四、反思与评价：
回顾知识的形成过程，同学交流，谈谈对本节课的认识：
（1）知识与技能：椭圆的范围、对称性、顶点，初步学习了利用椭圆标准方程研究椭圆曲线性质的方法；
（2）过程与方法：重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养了我们观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力；
（3）情感、态度与价值观：善于观察，敢于创新，学会与人合作，感受到探究的乐趣，体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。
设计意图：
不会反思，就不会学习，通过反思，深化知识的形成过程，完善认知结构，掌握研究的方法和思路，拓宽思维角度，提高思维层次。
五、课后作业：
（1）反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；
（2）研究的范围、对称性、顶点；
（3）课后延伸：同学们再来观察椭圆的结构特征“方某某和的系数不相等”，因此当和的系数发生变化时，椭圆的形状是如何随之变化的？
设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业（1）强调研究方法的重要性，作业（2）是对学生学习效果的一种检验，作业（3）引导学生利用椭圆方程的结构特征自主研究椭圆的另一条性质——离心率；
课堂设计案例分析
爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。本节课的设计力图贯彻“以人的发展为本”的教育理念,体现“教师为主导,学生为主体”的现代教学思想.在对椭圆定义的讲授中,遵循从生动直观到抽象概括的教学原则和教学途径,通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；让椭圆生动灵活地呈现在学生面前,更有助于学生理解椭圆的内涵和外延.
学习的过程是一个将外界的新信息不断搭建在已有知识上的过程，是认知结构发生重组和改造的过程。本课在设计中充分考虑到了学生的这一实际情况及学生的认知规律。为了突破重点，在教学设计中采用了循序渐进、逐层推进的方法，为突破难点，在设计中通过课堂精心设问，让学生观察，思考，讨论，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。课后探索更为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间.在教学中借助多媒体生动、直观、形象的特点来突出教学重点.自始至终很好地调动学生的积极性,挖掘他们的内在潜能,提高学生的综合素质.
椭圆方程的化简是学生从未经历的问题，方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学探究能力，培养学生独立主动获取知识的能力。
设计例题、习题的研讨探究变式训练，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野。
总之，在新课改理念指导下，教学设计一定要从学生就近知识区域出发，落实问题驱动，突出学生主体，先学后教，才会取得事半功倍的效果。
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