聚焦中考专题三

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专题三　因式分解

要点梳理

1．因式分解

把一个多项式化成几个 积的形式，叫做因式分解，因式分解与 是互逆运算．

2．基本方法

(1)提取公因式法：

ma＋mb－mc＝ ．

整式

整式乘法

m(a＋b－c)

要点梳理

(2)公式法：

运用平方差公式：a2－b2＝ ；

运用完全平方公式：a2XXXXX2ab＋b2＝ ．

(a＋b)(a－b)

(aXXXXXb)2

要点梳理

分解彻底

作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式．这些统称分解彻底．

思考步骤

多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有些方法是根本不适用的．因此，拿到一道题目，先试试这个方法，再试试那个办法．解题时思考过程建议如下：(1)提取公因式；(2)看有几项；(3)分解彻底．在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止．

变形技巧

当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；

当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.

1．(2014XXXXX玉林)下面的多项式在实数范围内能因式分解的是( )

A．x2＋y2　　　　　　　　　B．x2－y

C．x2＋x＋1 D．x2－2x＋1

D

2．(2014XXXXX毕节)下列因式分解正确的是( )

A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)

B．x2＋2x－1＝(x－1)2

C．x2＋1＝(x＋1)2

D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2

A

3．(2014XXXXX威海)将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是( )

A．x2－1 B．x(x－2)＋(2－x)

C．x2－2x＋1 D．x2＋2x＋1

4．(2014XXXXX宁夏)分解因式：x2y－y＝

．

5．(2014XXXXX哈尔滨)把多项式3m2－6mn＋3n2分解因式的结果是 ．

D

y(x＋1)(x－1)

3(m－n)2

因式分解的意义

【例1】　(2014XXXXX泉州)分解因式x2y－y3结果正确的是( D )

A．y(x＋y)2　　　　　 B．y(x－y)2

C．y(x2－y2) D．y(x＋y)(x－y)

【点评】　因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底．

1．(2014XXXXX安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是( )

A．a2＋1 B．a2－6a＋9

C．x2＋5y D．x2－5y

B

提取公因式法分解因式

【例2】　阅读下列文字与例题：

将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；

(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．

试用上述方法分解因式：a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝

．

(a＋b)(a＋b＋c)

【点评】　(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多项式．

2．(1)多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式

是 ．

(2)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( )

A．m＋1 B．2m C．2 D．m＋2

(3)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)．

解：(x＋y)2－3(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－3)

x－2

D

运用公式法分解因式

【例3】　(1)①(2014XXXXX东营)3x2y－27y＝

；

②(2014XXXXX邵阳)将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是 ．

(2)分解因式：

①(2014XXXXX黄冈)(2a＋1)2－a2＝ ；

②(2014XXXXX淄博)8(a2＋1)－16a＝ ．

3y(x＋3)(x－3)

n(m－1)2

(3a＋1)(a＋1)

8(a－1)2

【点评】　(1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．

3．分解因式：

(1)9x2－1；

9x2－1＝(3x＋1)(3x－1)

(2)25(x＋y)2－9(x－y)2；

25(x＋y)2－9(x－y)2＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)＝4(4x＋y)(x＋4y)

(3)(2012XXXXX临沂)a－6ab＋9ab2；

a－6ab＋9ab2＝a(1－6b＋9b2)＝a(1－3b)2

(4)(2013XXXXX湖州)mx2－my2.

mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)

综合运用多种方法分解因式

【点评】　灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．

4．(1)(2014XXXXX武汉)分解因式：a3－a＝

；

(2)(2014XXXXX黔东南州)分解因式：x3－5x2＋6x＝

；

a(a＋1)(a－1)

x(x－3)(x－2)

(3)分解因式：(x＋2)(x＋4)＋x2－4；

(x＋2)(x＋4)＋x2－4＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)(x＋4＋x－2)＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1)

(4)在实数范围内分解因式：m4－9.

因式分解的应用

【例5】　(1)(2014XXXXX河北)计算：852－152＝( )

A．70　　B．700　 C．4900　　D．7000

(2)已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值．

解：∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0，即(a＋3)2＋(b－5)2＝0，∴a＋3＝0且b－5＝0，∴a＝－3，b＝5，∴a＋b＝－3＋5＝2

D

【点评】　(1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解．

5．(1)(2014XXXXX徐州)若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a2b－ab2的值等于 ．

(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

－2

C

试题　如果a，b，c都是整数，且满足a2＋3b2＋3c2＜2ab＋4b＋12c－13，求a，b，c的值．

审题视角　问题中只有一个不等量关系，未知字母有三个．考虑到问题中的完全平方式，应用非负数的性质来解决问题，把未知字母组成方程或方程组．

所有不小于0的实数称为非负数，学过的一些代数式的绝对值或它的平方式、它的算术平方根等，都是非负数．关于非负数，有下面的结论：若干个非负数的和等于0，则这些非负数均为0；一个数和它的相反数同时不小于0或同时不大于0，那么这个数一定是0.

当已知若干个非负数的和为0时，常常可由此得出若干个代数式等于0的结果(含未知数的等式——方程)，由它们组成的方程或方程组(未知数)的值为我们解决相应的问题开辟了途径．

规范答题

解：a2＋3b2＋3c2＜2ab＋4b＋12c－13，

将已知不等式变化为：

a2＋3b2＋3c2＋13－2ab－4b－12c＜0，

a2－2ab＋b2＋2b2－4b＋2＋3c2－12c＋12＜1，

(a2－2ab＋b2)＋2(b2－2b＋1)＋3(c2－4c＋4)＜1，

∴(a－b)2＋2(b－1)2＋3(c－2)2＜1.

∵a，b，c都是整数，

∴不等号左边是三个非负整数之和，

∴(a－b)2＋2(b－1)2＋3(c－2)2≥0，

∴只能是(a－b)2＋2(b－1)2＋3(c－2)2＝0，

根据非负数的性质，可得a－b＝0，且b－1＝0，且c－2＝0，∴a＝b＝1，c＝2.

答题思路

第一步：移项．把所有的项移到等式或不等式的一边，使得另一边为零；

第二步：拆项．把代数式拆分成几个完全平方式；

第三步：配方．把代数式配方成几个完全平方式的和的形式；

第四步：应用一个实数的完全平方是非负数以及非负数的性质，得到关于未知字母的方程或方程组，解方程或方程组，即得未知字母的值，从而解决问题．

第五步：反思回顾．查看关键点、易错点，完善解题步骤．

试题　分解因式：

(1)20m3n－15m2n2＋5m2n；

(2)4x2－16y2；

(3)m(a－b)＋n(b－a)；

(4)－3x2＋18x－27.

错解　(1)20m3n－15m2n2＋5m2n＝5m2n(4m－3n)；

(2)4x2－16y2＝(2x＋4y)(2x－4y)；

(3)m(a－b)＋n(b－a)＝(a－b)(m＋n)；

(4)－3x2＋18x－27＝－3(x2－6x＋9)．

剖析　学习因式分解，若对分解因式的方法不熟

练，理解不透彻，可能会出现各种各样的错误．因式分解提取公因式后，括号内的项一定要与原来的项数一样多，错解主要是对分配律理解不深或粗心大意造成的，提取公因式还有符号方面的错误；分解因式时，应先观察是否有公因式可提，公因式包括系数，错解忽视提取系数的最大公约数；分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解．

正解　

(1)20m3n－15m2n2＋5m2n＝5m2n(4m－3n＋1)；

(2)4x2－16y2＝4(x＋2y)(x－2y)；

(3)m(a－b)＋n(b－a)＝m(a－b)－n(a－b)＝(a－b)

(m－n)；

(4)－3x2＋18x－27＝－3(x2－6x＋9)＝－3(x－3)2.[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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