选修2-1 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 课件

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人民教育出版社A版 选修2-1

1.4.3含有一个量词的命题的否定

学习目标　1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识点1　全称命题的否定

全称命题p：?x∈M，p(x)，

它的否定}坧：___________________.

?x0∈M，}坧(x0)

【预习评价】

已知命题p：?x＞2，(x＋2)(x－1)＞0，则}坧是_____________.

答案　?x0＞2，(x＋2)(x－1)≤0.

知识点2　特称命题的否定

特称命题p：?x0∈M，p(x0)，

它的否定}坧：________________.

【预习评价】

已知命题p：存在实数m，使不等式x2＋mx＋1＞0成某某.则命题p的否定是________.

答案　对任意的实数m，不等式x2＋mx＋1≤0成某某

?x∈M，}坧(x)

知识点3　全称命题与特称命题的关系

全称命题的否定是________命题.

特称命题的否定是________命题.

特称

全称

【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“XXXXX”)

(1)命题“?x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称命题.(　　)

(2)若命题}坧是特称命题，则命题p是全称命题.(　　)

(3)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的.(　　)

提示　(1)由于命题“?x∈R，x2－1≥－1”是全称命题，故其否定是特称命题，所以(1)错.

(2)由于}坧的否定是p，所以p是全称命题.

(3)用自然语言描述的全称命题的否定形式不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.

答案　(1)XXXXX　(2)√　(3)XXXXX

题型一　全称命题的否定

【例1】　写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；

(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

解　(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.

(2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数.

(3)是全称命题，其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.

(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.

规律方法　全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.

【训练1】　写出下列全称命题的否定：

(1)每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)所有自然数的平方都是正数；

(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)对任意实数x，x2＋1≥0.

题型二　特称命题的否定

【例2】　写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形.

解　(1)}坧：?x>1，x2－2x－3≠0.(假).

(2)}坧：所有的素数都不是奇数.(假).

(3)}坧：所有的平行四边形都是矩形.(假).

规律方法　特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：?x0∈M，p(x0)成某某?}坧：?x∈M，}坧(x)成某某.

解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.

(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.

【探究1】　(1)已知对任意的x∈[1，3]，都有m≥x，求实数m的取值范围；

(2)已知存在实数x∈[1，3]，使m≥x，求实数m的取值范围.

解　(1)由于对任意的x∈[1，3]，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.

(2)由于存在实数x∈[1，3]，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.

【探究2】　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.

(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成某某，并说明理由；

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成某某，求实数m的取值范围.

解　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.

要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成某某，只需m>－4即可.

故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成某某，此时，只需m>－4.

(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成某某，只需m>f(x)min.

又f(x)＝(x－1)2＋4，

∴f(x)min＝4，∴m>4.

∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).

规律方法　对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成某某，只要a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成某某，只需a>f(x)min.

【训练3】　已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).

(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；

(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成某某，求实数a的取值范围.

(1)证明　当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，

∵XXXXX＝36－4XXXXX(－9)XXXXX(－1)＝0，且－9＜0，

∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.

课堂达标

1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“}坧”形式的命题是(　　)

A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

解析　命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即}坧：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.

答案　C

2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：?x∈A，2x∈B，则(　　)

A.}坧：?x∈A，2x∈B

B.}坧：?x?A，2x?B

C.}坧：?x?A，2x∈B

D.}坧：?x∈A，2x?B

解析　命题p：?x∈A，2x∈B是一个全称命题，其命题的否定}坧应为?x∈A，2x?B，选D.

答案　D

3.对下列命题的否定说法错误的是(　　)

A.p：能被2整除的数是偶数；}坧：存在一个能被2整除的数不是偶数

B.p：有些矩形是正方形；}坧：所有的矩形都不是正方形

C.p：有的三角形为正三角形；}坧：所有的三角形不都是正三角形

D.p：?n∈N，2n≤100；}坧：?n∈N，2n>100.

解析　“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.

答案　C

答案　C

5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________.

解析　命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.

答案　有的向量与零向量不共线

课堂小结

1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.

(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.

(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成某某”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成某某”等.

(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.

2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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