人教版A必修5-1.2解三角形应用举例

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1.2.1 应用举例

高碑店第一中学

高二数学组王某某

基础知识复习

解斜三角形应用举例

1、正弦定理

2、余弦定理

解斜三角形应用举例

解应用题的一般步骤

1.审题

理解题意,明确背景,熟悉已知条件,了解所需要的条件(或量),明确试题的所求内容.

2.建立数学模型

把实际问题转化为数学问题.

3.解答数学模型

解答数学问题.

4.总结

与问题所求量进行联系,总结作答.

例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。

测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）

分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形

解：根据正弦定理，得

答：A,B两点间的距离为65.7米。

例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。

分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=XXXXX, ∠ACD=XXXXX, ∠CDB=XXXXX, ∠BDA=XXXXX.在 ADC和 BDC中，应用正弦定理得

计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离

如何测量地球与月亮之间的距离?

背景资料

早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出XXXXX,XXXXX的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.

练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？

练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算

油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60XXXXX，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6XXXXX20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．

（1）什么是最大仰角？

在△ABC中已知什么，要求什么？

练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算

油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60XXXXX，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6XXXXX20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．

已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，

夹角∠CAB＝66XXXXX20XXXXX，求BC．

解：由余弦定理，得

答：顶杆BC约长1.89m。

图中给出了怎样的一个

几何图形？已知什么，

求什么？

想一想

例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法

分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。

几个概念：

仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;

俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；

方位角：正北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。

N

方位角60度

水平线

目标方向线

视线

视线

仰角

俯角

方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30度,南偏西45度.

解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是XXXXX，XXXXX，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在 ACD中，根据正弦定理可得

例3. AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法

分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长

CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)

答：山的高度约为150米。

解：在"緼BC中，∠BCA= 90XXXXX +XXXXX, ∠ABC= 90XXXXX -XXXXX, ∠BAC=XXXXX-XXXXX, ∠BAD=XXXXX.根据正弦定理，

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15XXXXX的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25XXXXX的方向上，仰角8XXXXX，求此山的高度CD.

分析：要测出高CD,只要测出高某某在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。

例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15XXXXX的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25XXXXX的方向上，仰角8XXXXX，求此山的高度CD.

解：在"緼BC中，∠A=15XXXXX,

∠C= 25XXXXX 15XXXXX=10XXXXX.

根据正弦定理，

CD=BCXXXXXtan∠DBC≈BCXXXXXtan8XXXXX≈1047(m)

答：山的高度约为1047米。

例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75XXXXX的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32XXXXX的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1XXXXX,距离精确到0.01n mile）?

解：在 △ABC中，∠ABC＝180XXXXX－75XXXXX＋32XXXXX＝137XXXXX，根据余弦定理，

（1）什么是最大仰角？

在△ABC中已知什么，要求什么？

练习

练习

因为BC＜AB，所以A为锐角 ， A＝14XXXXX15XXXXX

∴ B＝180XXXXX－（A＋C）＝85XXXXX45XXXXX

解 题 过 程

答：活塞移动的距离为81mm．

解 题 过 程

∴我舰的追击速度为14海里/小时，

练习

3. 3.5m长的木棒斜靠在石某某，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿某某2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。

总 结

实际问题[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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