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应用数学方法解决动态平衡物理问题
在几个共点力的作用下，物体处于平衡，如果其中的某一个力或某几个力发生缓慢的变化，其他的力也随之发生相应的变化，在变化过程中物体仍处于平衡状态，我们称这种平衡为动态平衡。因为力都在不断变化，这类问题是力学中比较难的一类问题。但是在过程中的每一个瞬间，物体所受的合力都为零，这是依据。以下列举几类利用数学知识解决此类问题的方法。
1．相似三角形法
例1.如图，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中AC=h。当B静止在与竖直方向夹角/方向时，A对B的静电力为B所受重力的/ 倍，则丝线BC长度为_________ 若A对B的静电力为B所受重力的0.5倍，改变丝线长度，使B仍能在/ 处平衡。以后由于A漏电，B在竖直平面内缓慢运动，到/ 处A的电荷尚未漏完，在整个漏电过程中，丝线上拉力大小的变化情况是_______
解析：对小球B受力分析如下图，自身重力/，静电力/和绳子拉力/，重力方向与墙壁平行，拉力方向与绳子同向，静电力与AB连线共线，所以几何/与矢量三角形///相似，所以有/，可得/，根据/结合余弦定理，可得/，解得/或者/。若/，则根据/得到/，代入余弦定理/可得/，根据几何关系可得/.漏电过程中当/时，任意一个位置都是平衡状态，都满足/，，由于/不变，/，/不变，所以绳子拉力/不变，当/时，/，此时，随着A的漏电，而AB的距离不变， /减小，/变大，所以整个漏电过程中，拉力先不变后变大。
此方法利用了数学中的相似三角形法，为解决物理问题带来方便，适用于物体所受三个力中，其中一个是恒力，另外两个力的大小方向都在变化的情况.
2．三角函数法
例2．如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系绕处于平衡状态。现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。与稳定在竖直位置时相比，小球的高度 （ ）
A．一定升高 B．一定降低
C．保持不变 D．升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定
解析: 设为橡皮筋的原某某，k为橡皮筋的劲度系数，小车静止时，对小球受力分析得：F1=mg，弹簧的伸长/,即小球与悬挂点的距离为/，当小车的加速度稳定在一定值时，对小球进行受力分析如图:
得：/，，解得：//，弹簧的伸长：/，则小球与悬挂点的竖直方向的距离为：/
即小球在竖直方向上到悬挂点的距离减小，所以小球一定升高，故A正确，BCD错误．故A.
这种方法根据直角三角形中的边角关系，进而解决了物理学中的动态平衡问题.
3．三角形图解法
例3 如图所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
解析：取球为研究对象，如图2所示，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图3中一画出的一系列虚线表示变化的F2。由此可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小
方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些三角形中边长，各力的大小变化就一目了然了。
4.作辅助圆法
例4．如图所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90XXXXX，且保持两绳之间的夹角XXXXX不变，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则（ ）。
(A)F1先减小后增大 (B)F1先增大后减小
(C)F2逐渐减小 (D)F2最终变为零
解析：取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的拉力，如图2所示分别为F1、F2、F3，将三力构成矢量三角形(如图3所示的实线三角形CDE)，需满足力F3大小、方向不变，角∠ CDE不变(因为角XXXXX不变)，由于角∠DCE为直角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3中一画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知，F1先增大后减小，F2随始终减小，且转过90XXXXX时，当好为零。
正确答案选项为B、C、D
方法：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。
总之，在物理解题中巧妙应用数学方法，不仅可以拓展解题思路，培养创新意识，还可以提高应用数学方法解决物理问题的能力。
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