变化率问题教学设计

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变化率问题

*_**学 吴某某

教材分析：文科艺术学生的数学一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题，他们极容易在解题时钻牛角尖，因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，就会激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心。

教学目标：知识与能力：通过对实际背景---气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题的研究及分析，体会平均变化率的思想及内涵。会用平均变化率公式来求某一区间上的平均变化率。

过程与方法：感受逼近的思想，并能理解瞬时变化率就是导数，体会建构思维和数形结合的思想方法。

情感态度与价值观：使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究、积极思考的学习精神。

教学重点：在实例下，借助函数图像直观的理解平均变化率，得出平均变化率公式。方式是特殊到一般、具体到抽象、实际问题到数学问题的过程。

教学难点：对生活现象中的变化情况作出相对应的数学解释。概括抽象函数的平均变化率，逼近思想下的瞬时变化率的理解。

教具：气球，多媒体、实物投影仪。

教学过程：

（一）创设情景: 同学们，我们的生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长，去年商品房在不同月内的价格，刘某某奥运会夺冠百米内的速度(多媒体展示)，如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢?这节课我们一起学习与变化率有关的问题。

板书课题：变化率问题

教师过渡: 为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例。

（二）探究过程

探究一：气球膨胀率

【学习活动】 各个小组配备一个气球，进行下面的活动：吹气球，每次都吹入差不多大小的一口气，观察气球变大的速度。假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。

具体过程：在这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况怎样？

【分析】 由气球的体积V（单位：L）与半径（单位：dm）之间的函数关系式引入气球平均膨胀率的概念。

当空气容量V从0增加１Ｌ时，半径增加了

气球的平均膨胀率为

当空气容量从1加2L时，半径增加了

气球的平均膨胀率为

可以看出随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了。

【学生思考】 在气球的半径变化问题中，当体积从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？

气球的平均膨胀率=

探究二：高台跳水运动

【学生思考】 在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)= - 4.9t2+6.5t+10 。

1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？

2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。

3、当时间从t1到t2时，运动员的平均速度是多少？

运动员的平均速度=

（三）、分析归纳、抽象概括

针对上面二个实例， 我们得出气球的平均膨胀率，运动员的平均速度”。

1、在气球的半径变化问题中，当体积从V1增加到V2时，

气球的平均膨胀率=

2、在高台跳水问题中，当时间从t1到t2时，

运动员的平均速度=

【学生思考】 1. 上述两个问题，有什么共同特征?

2. 你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？

3. 下图中函数从x1到x2的平均变化率怎样计算？

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么?

平均变化率可表示为
。本质是对应函数的增量与自变量的增量的比值；表示函数在某一范围内平均的变化趋势（增减）和快慢程度。

（四）、知识应用、深化理解

例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月,第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

练习1、向某某H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的( )

练习2、观察图象，计算运动员在 0≤t≤这段时间内的平均速度，思考：

(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？

(2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

(3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议或想法呢?

【设计意图】 体会平均速度可以描述运动员某段时间内运动的快慢，但不能表示运动员的运动状态，激发学生的求知欲，自然的引出瞬时速度（当
趋近于0时）的概念。

（五）、归纳小结、布置作业

【提出问题】 （1）这节课你学到了什么？

（2）这节课给你影响最深刻的是什么?

（3）下课后你还想解决那些问题?

（六）板书设计

1.1.1变化率问题



1．平均速度

2．平均增长率

3．气球膨胀率

1：平均变化率的概念

=

2．例1

练习1

练习2



（七）作业

P＝10，习题1.1A组1

【学生思考】 y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？

（八）教学反思

1、有刘某某100米栏夺冠，激发学生爱国热情，进而研究刘某某的速度，开启本节内容，激发学生学习的兴趣，设计中体现先学后教的教学理念，提高学生的核心素养，让学生乐学、爱学、会学。

2、在教学设计中，.将学生必须掌握的平均变化率概念的结构性分析置于核心地位，选择运用与变化率知识紧密相关的典型材料，尽量突出重点，把握难点。探究一的设计让学生对发现的规律进行理性的分析，通过自我探索和互相交流的过程，提高学生的逻辑思维和自学能力。数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美。探究二帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力。

3、在教学设计中，围绕变化率知识的本质及逻辑关系，有计划地设置系列问题，使学生理解从特殊到一般的数学思想，具有一定的归纳、概括、类比、抽象思维的能力训练。在学生建立起平均变化率的概念后，明确用定义求平均变化率的方法，渗透算法思想，加深对平均变化率、瞬时变化率概念的理解，强化对重点知识的巩固。

4、在教学设计中，根据教学的特点以及学生的需要恰当选择和运用多媒体，有效整合教学资源，揭示数学知识的发生、发展过程及其本质，帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维。

5、课后反思课堂教学，感觉忽视了“平均变化率”与“导数”的联系，“从平均变化率到瞬时变化率”的过程，引入“瞬时变化率”概念，同时指出“瞬时变化率”就是本章研究的“导数”。课堂教学中发现，学生的反应与自己的预想相差较多。从另一个侧面说明了教学中关注学生的认知基础是成功地实施课堂教学的前提。另外课堂实施过程中，虽然在形式上将知识直接抛给学生，但整堂课学生的思维量不够，缺少思辩，同时留给学生判断和分析的成分、时间都不够。总之，课堂教学是一门高深的艺术，只有通过不断的实践，并在实践中反思，进行再创造，才能有所得，有所为。

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