13.4--最短路径问题--公开课

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13.4 最短路径问题AB将军饮马问题 ：AC 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短AB两点之间线段最短C . 将军骑马从城堡A出发，到一条笔直的小河边 饮马，然后到军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他所走的路径最短？ ABA′C探究一：将军饮马问题 巩固训练：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC

上的点，你能在BC上确定一点R，

使△PQR的周长最短吗？你学会了吗？P′R 如图：一位将军骑马从城堡A出发，先骑马去草地边OM的某处吃草，再骑马去河边ON喝水，最后回到城堡A，

问：这位将军怎样走路程最短？OMN探究二：将军饮马问题数学问题：在射线OM、ON上分别找一点

P、Q，使AP+PQ+QA最短A造桥选址问题的延伸探索造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）思维分析 1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？问题解决A1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于某某，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：

（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，

使A1A2=PQ.

（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．问题解决沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２　＝ＰＱ　；

连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；

连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；

从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．思维方法二 沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１　点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２　＝MN　；

连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；

连接B１N交B１的对岸于P点，建桥PQ；

从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB2+B2B1+B1B．问题延伸二如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２　＝PQ，A2A3 =GH 　；

连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；

连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；

连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.

此时从A到B点路径最短.沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２　＝PQ，A2A3 =GH 　；

连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；

连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；

连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.

此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１，使AA１＝MN，平移B点至B1、B2 ,使BB1＝GH，B1B2 =PQ ；

连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；

连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；

此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移B点至B1 ,使BB1＝GH ；

连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ；

连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸的Ｎ点，建桥ＭＮ；

此时从A到B点路径最短.问题解决

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