平方差公式

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14.2.1 平方差公式解：(a+2 ) (a ?2)= a2 ?4答：改适后的长方形草地的面积是（ a2 ?4 ）平方米． 街心花园有一块边长为a米的正方形草地，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米．问改造后的长方形草地的面积是多少？计算下列多项式的积．

（1）（x＋6）（x－6）

（2）（m＋5)(m－5)

（3）（5x＋2）（5x－2）

（4）（x＋4y）（x－4y）观察上述多项式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？（1）（x＋6）（x－6）=x2－62（2）（m＋5)(m－5)=m2－52（3）（5x＋2）（5x－2）=5x2－22（4）（x＋4y）（x－4y）=x2－4y2（1）(x+3)(x?3) ；（2）(1+2a)(1?2a) ；（3）(x+4y)(x?4y) ；（4）(y+5z)(y?5z) ；=x2?9 =1?4a2=x2?16y2 ；=y2?25z2 =x2?32 ；=12?(2a)2 ；=x2?(4y)2 ；=y2?(5z)2 ．计算 像这样具有特殊形式的多项式相乘，我们能否找到一个一般性的公式，并加以熟记，遇到相同形式的多项式相乘时，直接把结果写出来呢？一般地，我们有即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

这个公式叫做（乘法的）平方差公式．（a＋b)(a－b)=a2－b2知识要点 (a+b)·(a-b)a2-b2= 边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方形纸片上，未盖住部分的面积为___________． (a+b)·(a-b)(a+b)(a?b)=a2?b2（1）公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反（互为相反数或式.（2）公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方． （3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是代数式． ｛（4）各因式项数相同．符号相同的放在前面平方，符号相反的放在后面平方．平方差公式的结构特征例1 利用平方差公式计算：

（1）(7+6x)(7?6x)；

（2）(3y ＋ x)(x?3y)；

（3）(?m＋2n)(?m?2n)．解：（1） (7+6x)(7?6x)=（2）(3y+x) (x?3y) =（3）(?m+2n)(?m?2n )72-（6x）2=49－36x2x2－3y2=x2－9y2=(－m)2－(2n)2=m2－4n2（1）(b+2)(b?2)； （2）(a +2b)(a?2b) ；（3）(?3x+2)(?3x?2) ； （4）(?4a+3)(?4a?3) ；（5）(?3x+y)(3x+y) ； （6）(y?x)(?x?y) ．（1）(b+2)(b?2)（3）(?3x+2)(?3x?2) （2）(a +2b)(a?2b)=b2－4=a2－4b2=9x2－4（5）(?3x+y)(3x+y) （4）(?4a+3)(?4a?3)（6）(y?x)(?x?y)=16a2－9=9x2－y2=x2－y2（1）1992×2008（1）1992×2008 =(2000 ?8) ×(2000+8 )=20002 ?82 =4000 000?64=3 999 936 例2 利用平方差公式计算：解：（2）996×1004（2）996×1004 =(1000 ?4) ×(1000+4 )=10002 ?42 =1000 000?16=999 984 (1) (a+2b)(?a?2b) ；

(2) (a?2b)(2b?a) ；

(3) (2a+b)(b+2a)；

(4) ?(a?3b)(a+3b) ；

(5) (?2x+3y)(3y?2x)． (不能) (第一个数不完全一样 ) (不能) (不能) (能) ?(a2 ?9b2)= ?a2 + 9b2 ；(不能) 例3 判断下列式子能否用平方差公式计算：(1)(x+3)(x-3)=x2-3

(2)(-3a-1)(3a-1)=9a2-1

(3)(4x+3y)(4x-3y)=4x2-3y2

(4)(2xy-3)(2xy+3)=4xy2-9错，x2-9错，1-9a2错，16x2-9y2错，4x2y2-9例4 改正错误法一利用加法交换律，变成公式标准形式． (?3x?5)(3x?5)=(?5)2 ?(3x)2 = 25?9x2．法二提取两“?”号中的“?”号，变成公式标准形式． (?3x?5)(3x?5)=－[(3x)2?52]=25?9x2．=(?5－3x ) (－5＋3x)=-(3x+5) (3x?5)例5 用两种方法计算(?3x?5)(3x?5) 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．添括号法则：知识要点（1）(a+b－c)(a-b＋c)例6 计算（2）(a-2b+3)(a－2b-3)= [a+(b-c)][(a- (b-c)]解：（1）(a+b－c)(a-b＋c)=a2－(b－c)2=a2－(b2－2ab＋c2)= a2－b2＋2ab－c2（2）(a－2b＋3)(a－2b-3)= [(a－2b)＋3][(a－2b)-3]= (a－2b)2－9=(a2－4ab＋b2) －9=a2－4ab＋b2－9 (3a＋b＋c)(3a＋b－c)

=[(3a＋b) ＋c][(3a＋b) －c]

=(3a＋b)2－c2

=9a2＋6ab＋b2－c2例7 计算（1）(x+y)(x-y)(x2+y2)解： (x+y)(x-y)(x2+y2)

=(x2-y2)(x2＋y2)=x4-y4（2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)= (x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)=(x4－y4) (x4+y4)(x8+y8)=(x8－y8 )(x8+y8)=x16－y16计算(21+1)(22+1)(24+1)(28+1) (216+1)(232+1)=(21－1)(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1) (216+1)(232+1)=(24－1)(24+1)(28+1) (216+1)(232+1)=(28－1)(28+1) (216+1)(232+1)=(216－1)(216+1)(232+1)=(232－1)(232+1)=264－1(a+b)(a?b)=a2?b2． 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差． 对于不符合平方差公式标准形式者，或提取两“?”号中的“?”号，要利用加法交换律，变成公式标准形式后，再用公式． 平方差公式1．498×502

2．4992-4982

3．98×102－992

4．1.03×0.97?

5．(－2x2+5)(－2x2－5)?

6．a(a－5)－(a+6)(a－6)?=249996

=997

=195

=0.9991

=4x4－25

=36－5a7．(2x－3y)(3y+2x)－(4y－3x)(3x+4y)

8．( x+y)( x－y)( x2+y2)?

9．(x+y)(x－y)－x(x+y)?

10．3(2x+1)(2x－1)－2(3x+2)(2－3x)?

11．2003×2001－20022= 13x2－25y2

=x4－y4

=－y2－xy

=30x2－11

=－112．已知：x-y=2，y-z=2，x+z=14，求x2-z2．解：x2-z2=56．

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