二项式定理教学设计

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《二项式定理》教学设计

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侯某某

2018.5.8

一、教学任务分析

二项式定理是《普通高中课程标准数学教科书·选修2-3》（人民教育出版社）高中二年级第一单元1.3.1《二项式定理》第一课时。

在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布列做准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。总之，二项式定理是综合性较强的，具有联系不同内容作用的知识。

二、教学重点和难点

重点：用计数原理分析
的展开式，得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式定理的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

三、教学基本流程

四、教学目标

【知识技能】（1理解二项式定理

（2）掌握二项式定理的应用

【过程与方法】（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.

（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.

【情感、态度与价值观】（1）通过学习二项式定理，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.

（2）在教学过程中，通过二项式定理推导的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.

五、教学过程设计

问题与情境

设计意图

师生活动



活动一：

1、给学生展示一段话：如果你知道一个女人怀孕了，她已经生了8个小孩子了，其中有3个耳朵聋，2 个眼睛瞎，一个智能不足，而这个女人自己又有梅毒，请问，你会建议她堕胎吗？

2、牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未娶．



生：回答问题1。

师：组织分析同学们的回答，注意引导学生从合情推理的角度得出合适的结论。

教师提出问题，同学们给出的结论一定正确吗？

通过这个有关名人的小故事，激发学生学习本节课的兴趣。



通过对这一个看似和数学没有关系的问题的回答，创设问题情境，让学生从合情推理的角度分析数学问题，对自己得出的结论要做出严格的证明。

学生已经迫不及待地要学习本节知识了。



活动二：

1.提出问题，简述讨论的思想方法。
的展开过程是怎样的？

2.用乘法法则展开
，合并同类项之前展开式有多少项？用两个计数原理分析。

3.展开式中同类项的形式是怎样的？每一类型的项的个数是怎样计算出来的？



提出问题，回顾相关知识。

引导学生将
的展开式与两个计数原理联系起来。

引导学生用计数原理分析同类项的个数，得到
展开式的系数。



教师提出课题：二项式定理是研究
的展开式问题。先从简单的
的展开式开始，并引导学生关注展开的两个步骤：用乘法法则展开，合并同类项。

教师提醒学生：用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何取的。为了方便分析，可以引进适当的记号
，
，以表示字母是从哪一个中选出来的。

教师引导学生分析展开式中同类项的形式和每一种类型的项的个数。教师要题型学生注意将项的形式归结为
对分析展开的意义。这是教学的难点。



活动三：类比上述过程，合情推理

1.学生分组讨论，
，
的展开 。

2.让学生猜想一下
展开式。

2．证明对二项展开式的猜想。



巩固已有思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础。

猜出二项式定理。

证明猜想。



学生独立完成，并由学生讲解过程。

先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数。

前面说道合情推理得到的结论不一定是正确的，那么就要对刚才得出的猜想进行证明。



活动四：

1、总结二项式定理系数规律，指数规律。

2.给出什么是二项式系数，通项公式

3.给出特例：

(1)
的展开式

（2）
的展开式



学生独立思考，小组讨论。

培养学生有一般到特殊的总结发现。对特殊形式特殊记忆。



通过学生讨论，培养学生交流合作能力。

通过学生对特殊形式的总结，培养学生发现问题，总结问题的能力。



活动五：

例1.（课本30页例1）

求
的展开式。

练习：课本35页练习 1、

补充练习：

1、（p+q）7 的展开式为:

2、（2a+3b）6的展开式的第三项为：

3、写出
的通项公式：

4、写出
的展开式，并写出通项公式：

5、写出
的展开式，并写出通项公式：



熟悉二项式定理

让学生再次熟悉二项式定理



教师引导学生独立完成，可以让学生对“直接展开”和“化简后展开”进行对比。

对本节内容做全面的总结，对各种形式再次熟悉。比较。



活动六：

小结：怎样用计数原理分析展开式？你认为其中的关键是什么？



概括思想方法。



先让学生自己总结，表述，教师再补充。特别注意，用计数原理分析展开式，实际上是对如何得到展开式的项
进行分析，也就是计数原理中的“一件事”



活动七：课下作业：课本36页，习题1.3，A组：1.2.3

让学生课下在再着重练习二项式定理。





六、两点说明

1.得到二项式定理的猜想完全依赖于对
的展开式的分析，因此要舍得在这个问题上多花些时间让学生多开展思维活动。

2.实际上，用计数原理对展开式的分析，关键是考察“一件事”是什么和如何完成这件事。这里，要完成的“一件事”就是得到
展开式的
，可以分两步完成：第一步，从（n-k）个（a+b）中取字母a；第二步，从剩下的k个（a+b）中取字母b。

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